计算科学 - 我如何确定函数何时处于“下溢边缘”？ - 吾爱随笔录 - 问答

我如何确定函数何时处于“下溢边缘”？

计算科学计算机算术

2021-11-29 03:01:10

用户hardmath提供了一个很好的概述，介绍了在计算两个函数的乘积时如何处理溢出，其中一个函数可能会溢出：https ://scicomp.stackexchange.com/a/20913/9466

答案还讨论了涉及的特殊情况 $\textrm{erf}$ 功能，在问题中作为示例进行了讨论，因此对处理进行了讨论 $\textrm{erf}$ 函数下溢：

作为进一步的预防措施，我们可能希望在评估时防止下溢 $\operatorname{erfc}(x)$ . 双精度正常值的指数范围下降到二进制（2 的幂） $-1022$ . 渐近：

erfc (x) \approx O (1 / x) e^{- x^{2}}

$\operatorname{erfc}(x) \approx O(1/x) e^{-x^2}$

因此，当我们处于指数下溢的边缘时 $x \approx 25$ .

我想了解如何提出 $x \approx 25$ 价值。我可能在这里遗漏了一些数学背景，因此只需指出可以帮助我理解如何得出此类估计的主题即可，

1个回答

在双精度浮点运算中，数字 $2^{-1022}$ 是可以表示的最小（正常）正数。计算任何较小的正数都会导致精度损失，因为它不能表示为浮点值。这要么意味着计算出的数字将是非正规的（部分精度损失），或者它可能会被舍入为零（完全损失精度）。

在 erfc 的情况下，您可以求解最大的 $x$ 这样 $\mathrm{erfc}(x)$ 不会下溢 - 这样 $\mathrm{erfc}(x)$ 可以完全准确地表示。这是通过（数值）求解方程来完成的

e r f c (x) = 2^{- 1022}, ⟹ x = 26.54,

$\mathrm{erfc}(x) = 2^{-1022}, \qquad\Longrightarrow\qquad x = 26.54,$ 或更容易通过求解近似方程

e^{- x^{2}} = 2^{- 1022}, ⟹ x = \sqrt{1022 \log 2} = 26.62.

$e^{-x^2}=2^{-1022}, \qquad\Longrightarrow\qquad x = \sqrt{1022\log 2} = 26.62.$ 号码

25

$25$ 然后是对何时可能发生问题的方便估计 - 大多数例程可能会在实际限制之前开始给出错误结果。

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