计算科学 - 最快的计算方法22的逆矩阵的 -范数（或22一个∈Cñ× NA∈CN×N - 吾爱随笔录

计算科学线性代数矩阵特征值效率 l2-范数

2021-12-20 03:49:12

我有一个矩阵，我需要有效地计算。可以在不必明确评估逆向的情况下完成吗？ $A\in \mathbb{C}^{N\times N}$ $||A^{-1}||_{2}$

一般来说，我正在寻找计算的方法，这些方法比在 Matlab 中执行以下操作更快： $||A^{-1}||_{2}$

norm(inv(A))

的近似值或上限的有效方法感兴趣。 $||A^{-1}||_{2}$

有人对此有任何见解吗？

编辑：请注意，矩阵的形式实际上是并且这个条件非常好（因为由于预处理而出现）。我不知道这对的效率是否有任何影响，但我只是想以防万一。 $A$ $A = I-B$ $I-B$ $A$ $||A^{-1}||_2$

1个回答

您可能想要使用以下事实：

| | A | |_{2} = σ_{max} (A)

$||A||_2=\sigma_\max(A)$

其中 $\sigma_\max$ 是最大的奇异值。如果您对细节感兴趣，这个 Math SO 问题应该很有趣。因此，

| | A^{- 1} | |_{2} = \frac{1}{σ_{min} (A)}

$||A^{-1}||_2=\frac{1}{\sigma_\min(A)}$ 其中

σ_{min}

$\sigma_\min$ 是最小奇异值。

您当然希望避免实际计算逆，并至少通过数值更稳定的Singular Vector Decomposition对其进行更改。不幸的是，它也是一个运算，其中是矩阵的大小。 $\mathcal O(N^3)$ $N$

现在，如果太大，您可能想对估计奇异值甚至条件数的算法感兴趣，因为 $N$

κ_{2} (A) = | | A | |_{2} | | A^{- 1} | |_{2} = \frac{σ_{max} (A)}{σ_{min} (A)}

$\kappa_2(A)=||A||_2||A^{-1}||_2=\frac{\sigma_\max(A)}{\sigma_\min(A)}$

这可能是您首先计算的实际动机。 $||A^{-1}||_2$

如果您的矩阵恰好是正常的(，那么 $A$ $A^HA=AA^H)$

κ_{2} (A) = \frac{| λ_{max} (A) |}{| λ_{min} (A) |}

$\kappa_2(A)=\frac{|\lambda_\max(A)|}{|\lambda_\min(A)|}$ 其中表示共轭转置，而和的最大和最小特征值。在这种情况下，可以简化一些计算。

A^{H}

$A^H$

λ_{max} (A)

$\lambda_\max(A)$

λ_{min} (A)

$\lambda_\min(A)$

A

$A$