我有一个大矩阵$A \in \mathcal{R}^{N\times N}$这应该是正定的，但在数值上较低。代替$A$, 我有它的不完全 Cholesky 因子$G$, 这样$A \simeq GG^\top$.$A$非常大，所以我无法将其保存在内存中，但是$G$足够小。我需要数值求解：

$$(A^{-1} + D)^{-1} v$$

在哪里$D$是具有正项的对角矩阵，并且$v$是一个向量。我想这样做而不形成$N \times N$矩阵。如果没有进一步的近似，这可能吗？

（上下文：这是 GP 下变分贝叶斯优化中的牛顿步骤。$A$是一个 Gram 矩阵，如果需要，我可以评估任何值。)

使用矩阵求逆引理，我们可以将其重写为，

$$(A - A (D^{-1} + A)^{-1} A)m \simeq G(G^\top m) - GG^\top (D^{-1} + A)^{-1} G(G^\top m)$$

但是，$(D^{-1} + A)^{-1}$任期还是很麻烦。（也许它的低阶近似会有所帮助？）

编辑：如果我有不完整的 Cholesky$A^{-1} = L L^\top$，事情会容易得多。在这种情况下，矩阵求逆引理给出，

$$(D^{-1} - D^{-1} L (I - L^\top D L)^{-1} L^\top D^{-1}) m$$

这都可以在低秩维度中计算。现在，注意伪逆$G$给$L$. 因此，一个 econ-SVD$G$会解决它。有没有更好的办法？