计算科学 - 多项式求根 - 快速求根 - 吾爱随笔录

我需要解决多项式的求根问题（其阶数为 2(N-1)，其中 N=48）。

到目前为止，我正在使用 Python Numpy 算法（依赖于计算伴随矩阵的特征值），但这对我来说太慢了。多项式可以写成：

\sum_{l = - N + 1}^{N - 1} D_{l} z^{l}

$\sum_{l=-N+1}^{N-1}D_{l}z^{l}$ 在哪里

D_{l}

$D_{l}$ 是沿一个元素的总和

N \times N

$N \times N$ 矩阵：

D_{l} = \sum_{n - m = l} D_{m n}

$D_{l}=\sum_{n-m=l}D_{mn}$ 在附图中你可以看到所有的根（94 个根，一半在酉圆内，一半在它外面）；任何允许计算最接近（<1）单位圆根的 M≪N 的算法？

我在这里添加了一些进一步的数字，希望能提高对我的问题的理解。我已经做了一些测试，只绘制了一些根轨迹（见图） $D_{l}$ 但这没有多大意义，正如 Federico Poloni 在评论中所说：

根是取决于整个多项式（或矩阵）的全局事物

然而，有趣的是，一些根（那些更接近于零的根）在平面上保持固定位置（如果我们在求解所有多项式和它的简化版本之间进行比较）。所有这些都是为了更好地理解整个多项式（或矩阵）结构，并可能找到一种更快的方法来仅计算所需的根。