我试图理解使用不完全 Cholesky 分解的基于分裂的迭代方法背后​​的理论。在给出具体细节之前，我先给出问题背景：

我已经离散化了一个线性系统$Au = f$对于以下 PDE 问题：

$$-\frac{\partial u}{\partial x^{2}} -\frac{\partial u}{\partial y^{2}} = f$$

如果为方便起见，我们消除了边界条件并在使用有限差分的同时具有通常的字典顺序，那么$A$将具有与此处第 4 页所述相同的形状。请注意，它是对称且正定的。我们假设它的大小$n \times n$.

由于它是一个大的稀疏矩阵，直接求解器不是一个好方法。所以，我想使用基于分裂的迭代求解器，即我们让$A = M - N$它定义了以下递归：

$$u_{k+1} = M^{-1}Nu_{k} + M^{-1}f$$ 其中起始向量是零向量。

我的第一个问题：如果我们让$L$表示填充为零的不完全 Cholesky 因子，然后因为$L \cdot L^{T}$是 A 的近似值，我们可以取$M = L \cdot L^{T}$在上述方法中？

第二个问题：如果前面的答案是肯定的，我如何从理论上证明上述方法收敛？我知道我需要证明谱半径（即最大绝对特征值）$\rho (B_{M}) < 1$， 在哪里$B_{M} = I - M^{-1}A$是迭代矩阵。特别是因为不清楚什么形式$M^{-1}$带到这里，我不确定如何进行。

第三个问题与前一个问题密切相关。鉴于停止标准是$\frac{\left\lVert f - Au_{k}\right\rVert _{2}}{\left\lVert f\right\rVert _{2}} \leq 10^{-10}$， 在哪里$f = -12x^{2}y^{5} - 20x^{4}y^{3}$，我也有兴趣量化收敛所需的迭代量。我只知道越小$\rho (B_{M})$它收敛得越快，但如何将其转化为最少的迭代次数？

最后一个问题与每次迭代的计算量有关，如果我们看一下上面的递归，那么很明显，至少一个线性系统解决了$M$是必需的，但我不清楚这需要多少工作。

编辑：我确实研究了评论中建议的替代直接方法，但对我来说，掌握相对简单的方法很重要，比如这里描述的方法。特别是出于比较目的，我希望能够回答上述问题，以便我可以更好地考虑其弱点并了解哪种替代方法最有效。不过，我仍然很感激这些建议！