我想最小化一个非线性函数$f(x)$使用牛顿法。在每个优化步骤，我计算一个下降方向$d$更新$x$使用二阶近似$f(x)$：

所以我需要求解一个线性系统，但是 Hessian 矩阵$\nabla^2f(x)$可能不是肯定的，这可能会给我一个无效的下降方向。我想运行共轭梯度来求解线性系统。在共轭梯度法中，其中一个步骤涉及到这个操作$v^T \nabla^2\ f(x)\ v$（计算$\alpha$根据 Shewchuk 的笔记，第 50 页https://www.cs.cmu.edu/~quake-papers/painless-conjugate-gradient.pdf，我正在使用$v$而不是$d$因为在我的约定中$d$是要更新的下降方向$x$）。我可以回收这个操作来知道 Hessian 是否不是正定的（如果这样的操作是负的）。

我这样实现了我的算法，所以一旦我检测到该操作是否定的，我就会停止 CG 求解器并返回迭代到该点的解决方案。我实际上已经看到它在实践中运行良好，但我没有严格的理由这样做。我记得听到/读过人们说每次 CG 迭代都会按照“重要性”的顺序处理不同的特征值，因此通过尽早停止，您最终会探索 Hessian 的正定部分。谁能指出我对此的更严格的理由？这是使用 CG 进行非线性优化来强制正定性的有效方法吗？