计算科学 - 重心有理函数的自动微分 - 吾爱随笔录

通过重心有理插值，我们理解了形式的函数

\begin{aligned} r (t) := \frac{\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{w_{i} y_{i}}{t - t_{i}}}{\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{w_{i}}{t - t_{i}}} \end{aligned}

$\begin{align*} r(t) := \frac{\sum_{i=0}^{n-1} \frac{w_i y_i}{t-t_i} }{ \sum_{i=0}^{n-1} \frac{w_i}{t-t_i}} \end{align*}$ 在Schneider 和 Werner中，（命题 12）一种用于计算导数的稳定算法

r^{(k)}

$r^{(k)}$ 被呈现。（在公式 5.1a 中，这里以更现代的符号对这个算法进行了回顾。）但是，这个算法需要两次通过数据向量

{w_{i}}_{i = 0}^{n - 1}

$\{w_{i}\}_{i=0}^{n-1}$ ,

{y_{i}}_{i = 0}^{n - 1}

$\{y_{i}\}_{i=0}^{n-1}$ 和

{t_{i}}_{i = 0}^{n - 1}

$\{t_{i}\}_{i=0}^{n-1}$ .

因为我只需要一阶导数 $r'$ ，我很好奇我是否可以通过自动微分获得一阶导数，一次通过，也许会提高评估速度。所以我有两个问题：什么是自动微分公式 $r$ ，并且通过使用它，我是否会失去 Werner 和 Schneider 算法所保证的稳定性？