我正在执行一系列随机投影，即将输入矩阵投影到随机生成的正交基（维数低得多）上。投影只是一个矩阵乘法，如$A \cdot B = P$， 在哪里$B$是由几个相互正交的单位长度列向量组成的基。

我得出的结论是，不需要在每次投影之前生成新的基础，因为对其行的简单排列应该足以保持整个过程的随机性。如果这是真的，那么这样做在计算复杂性方面将非常有利可图，因为行置换也保持了基的正交性。

问题是我是一名程序员而不是数学家，所以我不确定这些基础上的投影是否确实是随机的，因此彼此独立，或者它们在某种程度上相似并因此受到限制。我的想法是对还是错，为什么？

编辑：

矩阵$A$由组成$n$二进制值的行向量 ($0$或者$1$)，其中向量维度接近$n$介于$10^5$和$10^7$.

重复随机投影的过程旨在找到可聚类的投影，或者至少避免最坏的情况。目前，聚类性被定义为方差。

为了最小化行排列的复杂性，我只是旋转行索引，所以原始基础根本没有改变。

最终目标是降低输入向量的维数，然后使用一些基于距离或密度的算法将它们聚集在这个低维空间中。

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$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

上面的反例清楚地表明了生成对某些排列不敏感的基的潜在风险——交换第 1 行和第 2 行，结果与改变基向量的顺序相同，根本不会改变投影。

问题 1：生成具有这种固有缺陷的随机基的概率是多少。

我看到行排列以某种方式反映了基础，但我不知道哪些基础不能很好地反映。我不期望确切的数字，因为它需要对“有”、“缺陷”和“好”等词进行精确定义。非常欢迎任何有助于更专业地表达问题的帮助。

问题2：它是唯一可以减少整个过程随机性的缺陷吗？