通过您在评论中选择模糊语言，您正在小心地避开问题的答案。矩阵中的非零值的数量可以很好地代表将其应用于向量的成本，因为成本主要取决于从缓存中加载其条目的时间。粗略地说，如果那么你应该分别应用它们。这通常是 PDE 矩阵和（甚至更多）幂律图（例如出现在网络分析中）的情况。

如果您一次将矩阵应用于多个向量，则可以分摊加载矩阵条目的成本。再次，您可以查看您选择的密度和向量数量的矩阵的性能模型，以确定是否更好地明确形成产品。对于方阵，它很少。

显式矩阵乘积有用的地方之一是“Galerkin”粗网格算子。在那里，粗网格算子小得多的空间中，因此应用显式乘积要便宜得多。$A_c = P^T A_f P$$A_f$

正如 Jed 已经说过的，这完全取决于矩阵。但是您可以通过考虑例如 2d 中拉普拉斯方程的 5 点模板来获得一个想法。在那里，刚度或质量矩阵的每一行$A$有五个条目。但是两个这样的矩阵的乘积有 13 个条目（将五点模板应用于五点模板的每个位置）。在 3d 中，$A$每行有 7 个条目，但是$A^2$有 33. 如果你有一个$Q_2-Q_1$斯托克斯方程在 3d 中的离散化。

然而，正如我在另一篇文章中提到的，形成矩阵乘积的重要成本实际上不是浮点运算，而是确定稀疏模式和产生的内存分配的成本。在形成成本模型时，您需要考虑到这一点。