将替换为可以稳定且廉价地计算行列式的因式形式。例如，为某个固定置换矩阵添加新的三角变量和以及约束；通常恒等排列就足够了。这意味着您将和的重要条目视为附加变量。然后行列式及其梯度很容易计算。如果是对称的，则可以改用。$A$$L$$R$$A=PLR$$P$$P=I$$L$$R$$A$$A=LDL^T$

或者，您可以通过在 A 出现的任何地方用代替它因此，代替最小化服从，比如说，你会最小化服从，（为了简单起见，假设是单位下三角形并且没有应用排列），并使用。$A$$PLR$$f(A,\det A)$$F(A)=0$$f(LR,\det R)$$F(LR)=0$$L$$\det R=\prod R_{ii}$

如果解决方案没有这种分解，则需要在的初步最小化后$P$$P=I$

约束非常不稳定且绝对可怕。您是否相信在实际的、非人为的 6 x 6 对称矩阵上，将矩阵的一个元素更改 1e-15 可以使以双精度计算的行列式从 1e20 摆动到 -1e20？祝你好运，尝试有意义地确定是否$\det(A) > 0$$\det(A)$在任何时候 > 或 < 0。渐变是您最不必担心的问题。除非您以超高精度计算，否则约束本身将不起作用，或者您可能只处理 2 或 3 维问题。Neumaier 教授为您提供了一个数值更稳定的解决方法。但我可以根据我的经验说，施加 Cholesky 分解类型约束似乎效果不佳，并且即使原始问题是凸问题，也会使问题成为非凸问题；您可能会成功，但最终可能会在您的问题中添加一堆虚假的局部最优值（甚至是鞍点？），这不是一件好事。

矩阵（约束为）对称吗，你真的希望强加并且所有领先的主子矩阵都有，即是正定的吗？如果是这样，而不是使用约束（除了其可怕的数值特性之外，它还不足以确保正定性，除非它被强加（也许你这样做？）在所有领先的主要子矩阵上)，使用半定约束，$A$$\det(A) > 0$$\det > 0$$A$$\det(A) > 0$$A$$A > 0$在线性矩阵不等式 (LMI) 意义上。即，A 是正定的约束。然而，实际的优化软件要么不接受严格的不等式约束，要么将其视为非严格的不等式约束。如果正半定是可以的，你的约束将是（在 LMI 意义上）。如果你真的需要 A 是严格正定的（det(A) 严格正），那么你需要确定一个最小可接受的特征值，然后施加约束（在 LMI 意义上）。您确实需要为约束可行性评估中使用的求解器容差留出一些余量（即求解器将允许稍微违反约束，例如 1e-6 或 1e-8）。$A \ge 0$min_eigA - min_eig * (Identity matrix of correct size) >= 0

在这一点上，了解您的目标函数和其他约束是什么会有所帮助。如果目标函数和其余约束是凸的（假设是最小化问题），您可以使用 CVX 或 YALMIP（两者都是免费的）来解决您的问题。你在评论中说（属于问题，所以你应该编辑）目标是二次的，但它是凸的吗？如果是非凸的，您可能仍然可以使用 YALMIP，也许与让 YALMIP 调用免费求解器 PENLAB 结合使用。如果您使用 CVX 或 YALMIP，它们会为您处理任何差异化问题。

针对问题的编辑进行编辑：如问题的编辑版本所示，被限制为对称非负并且，但不受限制为正定。实际上，维度 >= 3 的非负对称矩阵可能具有正行列式但不是正定矩阵。你愿意允许这种情况吗？如果是这样，我在上述编辑上方的回答不适用。如果实际上您要求是肯定的，那么我在编辑上方的回答确实适用，您应该进一步编辑您的问题以反映是肯定的约束。$A$$\det(A) > 0$$A$$A$$A$