我正在尝试解决非常简单的一维汉堡方程，即：
其中某个变量 U 的通量 F 定义为
如果我考虑节点i周围的小控制体积，那么我应该将原始方程写为：
F[i] = 0.5*0.5*(u[i] + u[i+1])*0.5*(u[i] + u[i+1]);
然后将函数的值修改为：
unew[i] = u[i] - (dt/dx)*(F[i] - F[i-1]); //Final Equation//
然而，这种方法导致了不同的结果，我真的不明白为什么。
PS 我希望得到最终方程形式的离散方程，因为我还想使用自适应网格细化，如果离散方程是这种形式，它很容易应用。
如果您想要最简单的适用于 Burger 方程且具有您建议的形式的数值方案，那么您应该更喜欢所谓的 Lax-Friedrichs 方法。
如果您有 LeVeque 关于双曲问题的有限体积方法的书，请寻找一个非常简单的公式 4.20（或稍微复杂一点的 4.21，但采用您建议的形式）。使用该方案，振荡将消失。
请注意，使用其他响应中提到的 Lax-Wendroff 方案，数值解中的振荡可以保留，因为它是所谓的二阶精确方法，通常无法避免振荡。Lax-Friedrichs 方法仅是一阶准确的。
如果简单性是您的第一标准，那么请注意，您仍然可以使用 Lax-Friedrichs 方法进行数值解的奇怪行为，即所谓的值聚类，参见 LeVeque 书中的图 12.3。
如果要避免这种聚类，请采用 Godunov 方案，参见公式 12.2，它也是一阶精确的，在数值解中没有振荡，也没有聚类。
如果你事先知道你的初始函数（你知道你需要知道) 处处为正，则方案 12.2 转向具有非常简单形式的所谓迎风方案
@Peter Frolkovic 的回答很好，但@Daniel Ruprecht 的评论也值得强调：您使用的方案（以空间为中心，在时间上向前）对于任何时间步长都是不稳定的。如果您考虑平流方程并进行标准的冯诺依曼或线稳定性分析方法，则很容易看到这一点。这在大多数关于双曲 PDE 或有限差分方法的数值的介绍性书籍中都有介绍。
另一个学习解决这类方程的好方法的资源是我的HyperPython课程；特别是，第三课将带您超越@Peter Frolkovic 的回答中提到的一阶方法。