计算科学 - 如何评估一系列衍生品？ - 吾爱随笔录

如何评估一系列衍生品？

计算科学算法有限差分 Python 表现迭代法

2021-12-09 11:20:05

考虑函数

f (x) = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} {((b - x) \cdot \nabla)}^{n} \frac{1}{r}

$f(\mathbf{x}) = \sum_{n=0}^{N} a_n \left( (\mathbf{b}-\mathbf{x})\cdot \nabla \right)^n \frac{1}{r}$ 在哪里

r = | x | = \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}}

$r = |\mathbf{x}| = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$ 和

a_{n}

$a_n$ 和

b

$\mathbf{b}$ 是众所周知的。

有没有什么好的方法来数值评估这个函数（对于相当大的 N）？

我的问题是我没有一个通用的表达方式

{((b - x) \cdot \nabla)}^{n} \frac{1}{r} .

$\left( (\mathbf{b}-\mathbf{x})\cdot \nabla \right)^n \frac{1}{r}.$ 有没有比递归地做数值导数更聪明的方法

1 / r

$1/r$ ? 我很害怕这种方法，因为多重导数可能导致数值误差累积。

提前致谢。

1个回答

你可以转换 $\mathbf{b}-\mathbf{x}$ 成极坐标，并在这个系统中做点积。这改变了 $((\mathbf{b}-\mathbf{x})\cdot\nabla)^n\frac{1}{r}$ 到

{((b - x)_{r} \frac{\partial}{\partial r} + (b - x)_{θ} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial θ})}^{n} \frac{1}{r}

$\left((\mathbf{b}-\mathbf{x})_r\frac{\partial}{\partial r} + (\mathbf{b}-\mathbf{x})_{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^n\frac{1}{r}$ 在这里，我使用下标

r

$r$ 和

θ

$\theta$ 表明

r

$r$ 和

θ

$\theta$ 成分，分别，的差异。您可以完全忽略第二项，因为它涉及到关于

θ

$\theta$ 而你只依赖于

r

$r$ ，这进一步将术语简化为

(b - x)_{r}^{n} \frac{\partial^{n}}{\partial r^{n}} \frac{1}{r}

$(\mathbf{b}-\mathbf{x})_r^n\frac{\partial^n}{\partial r^n}\frac{1}{r}$ 现在使用这个事实

\frac{\partial^{n}}{\partial r^{n}} \frac{1}{r} = (- 1)^{n} \frac{n!}{r^{n + 1}}

$\frac{\partial^n}{\partial r^n} \frac{1}{r} = (-1)^n\frac{n!}{r^{n+1}}$ 您现在有一个很好的分析导数，可以在求和中使用。你的最终方程看起来像

f (x) = \sum_{n = 0}^{N} (- 1)^{n} a_{n} (b - x)_{r}^{n} \frac{n!}{r^{n + 1}}

$f(\mathbf{x})=\sum_{n=0}^{N}(-1)^n a_n(\mathbf{b}-\mathbf{x})_r^n\frac{n!}{r^{n+1}}$

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