计算科学 - 这两种半定规划问题的表述是否等价？ - 吾爱随笔录

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用表示所有实对称矩阵的空间。空间配备内积（其中表示迹）我们可以将上一节给出的数学程序等效地改写为 $\mathbb{S}^n$ $n \times n$ ${\rm tr}$
$⟨ A, B ⟩_{S^{n}} = t r (A^{T} B) = \sum_{i = 1, j = 1}^{n} A_{i j} B_{i j} .$ $\langle A,B\rangle_{\mathbb{S}^n} = {\rm tr}(A^T B) = \sum_{i=1,j=1}^n A_{ij}B_{ij}.$ $\begin{aligned} min_{X \in S^{n}} & ⟨ C, X ⟩_{S^{n}} \\ subject to & ⟨ A_{k}, X ⟩_{S^{n}} \leq b_{k}, k = 1, \dots, m \\ X ⪰ 0 \end{aligned}$ $\begin{array}{rl} {\displaystyle\min_{X \in \mathbb{S}^n}} & \langle C, X \rangle_{\mathbb{S}^n} \\ \text{subject to} & \langle A_k, X \rangle_{\mathbb{S}^n} \leq b_k, \quad k = 1,\ldots,m \\ & X \succeq 0 \end{array}$

从Boyd 的论文中，一个半定规划问题是

$min_{x \in R^{m}} c^{T} x$ $\min_{x \in\mathbb R^m} c^T x$ 服从 $F_{0} + \sum_{i = 1}^{m} x_{i} F_{i} ⪰ 0$ $F_0 + \sum_{i=1}^m x_i F_i ⪰ 0$ 其中 $c \in \mathbb R^m$ 和 $m + 1$ 对称矩阵 $F_0, ..., F_m \in \mathbb R^{n\times n}$ 。

我想知道这两种配方是否等效？我无法看到它们之间的关系。谢谢并恭祝安康！