计算科学 - 圆柱和球坐标系中的有限差分法 - 吾爱随笔录

我非常熟悉笛卡尔坐标中的有限差分方案。这里的关键是笛卡尔网格中的每个点都被同等对待，因为连续点之间的间距相同。

我想知道如何在圆柱形（甚至球形）系统中执行有限差分。我相信我的主要困惑是角度差异。如果我们采用 2D 圆柱（极坐标）系统，划分网格的一种方法是制作同心圆（ $\Delta r$ 间距）。对于角间距，我们可以绘制径向出射光线，每条角宽 $\Delta\phi$ .

和 $O(h^2)$ 中心差分，例如，拉普拉斯算子可以由下式给出：

\nabla^{2} f = 0

$\nabla^2 f = 0$

\Rightarrow \frac{f_{i + 1, j} + f_{i - 1, j} - 2 f_{i, j}}{Δ r^{2}} + \frac{1}{i Δ r} \frac{f_{i + 1, j} - f_{i - 1, j}}{Δ r} + \frac{1}{(i Δ r)^{2}} \frac{f_{i, j + 1} + f_{i, j - 1} - 2 f_{i, j}}{Δ ϕ^{2}} = 0

$\Rightarrow \frac{f_{i+1,j} + f_{i-1,j} - 2f_{i,j}}{\Delta r^2} + \frac{1}{i\Delta r}\frac{f_{i+1,j} - f_{i-1,j}}{\Delta r} + \frac{1}{(i\Delta r)^2}\frac{f_{i,j+1} + f_{i,j-1} - 2f_{i,j}}{\Delta\phi^2} = 0$

但在这样的网格方案中，随着我们增加 $i$ （因此 $r$ )，同心圆上两点之间的距离会不断增加。这是有限差分在柱坐标中的工作原理吗？这样的方案是稳定的还是会变得不稳定？ $r$ ?

有没有更好的有限差分方法？