在不同的书籍和 Wikipedia 上，您可以看到提到 Cholesky 分解，但有时只提到 LDL 分解。
据我了解，LDL分解可以应用于更广泛的矩阵（我们不需要矩阵是正定的）。
我特别想解决成千上万的最后一个正方形问题，如下所示：
有时在哪里由于共线性不是很好的条件。我选择不使用 QR 分解或 SVD，因为：1. 比 cholesky 慢得多，2. 我可以舍弃一些s 如果性能提升是值得的。
忘了提，但我也在从 GPU 性能优化的角度考虑这些算法。考虑到，如果可能（SVD 在 GPU 上不好），我可以使用批处理版本一次启动数千个问题。
一般而言，LDL 不是比纯 Cholesky 更好吗？是不是慢很多？
正如评论者已经说过的，对于您的具体问题，QR 分解可能是一种更好的方法，这不是因为速度，而是因为数值稳定性。一般来说，这仍然是一个很好的问题。
您引用的优点之一是可用于不定矩阵，这绝对是它的优势。我强烈推荐的线性代数库Eigen有一些关于此的基准，这似乎表明对于大型矩阵（> 1000 x 1000）来说要快得多。 他们网站上的这张表也很有趣。似乎说他们没有实施阻塞优化来提高缓存利用率，这可能解释了目前在大型矩阵上速度较慢的原因。另一方面，同一张表也表明条件数的形式比表单，无论他们是否实现了缓存阻塞，这都应该是正确的。哪种形式更好然后成为一个情境问题，具体取决于系统的大小和条件数。
天真地，我希望优化实现会更快，因为它使用更少的平方根和除法运算，这比现代 CPU 上的浮点加法或乘法需要多 4 倍的周期。（这个 4 倍因子在 GPU 上可能会有所不同。）这可能是我错了，因为我缺少一些基本的东西，或者因为其中一个实现比另一个更优化。无论哪种情况，它都只是说明了自己进行测量的重要性。
不是一个完整的答案，但我只会提到两个微妙的细节：
OP 正在将 LDLT 应用于在精确算术中为半正定的矩阵；因此人们会期望，除非发生灾难性的取消错误，否则 LDLT 总是使用 1x1 枢轴而不是 2x2 枢轴。因此，这些矩阵的基准测试结果可能与通用矩阵不同（我认为是基于随机矩阵）。
此外，如果 LDLT 甚至在其中一个矩阵上进行一次 2x2 枢轴，那么这意味着计算错误已经受到干扰超过它到奇点的距离。因此，可以说，在这种情况下，由 LDLT 给出的结果和计算值很可能是垃圾。（Cholesky 在同一个例子上给出的结果也很可能是垃圾，所以这不是支持 Cholesky 的观点。这只是意味着 LDLT 中的 2x2 代码路径在这里并不重要。）