正如 Doug Lipinski 所说，您需要：

1) 找到轮廓
2) 计算弧长。

找到轮廓

要找到轮廓，您可以使用Marching Squares，您可以在其中重写

$$f(x,y) = f_0 \Leftrightarrow f(x,y) - f_0 = 0 \enspace .$$

您为每个单独的单元格分配一个图元（例如，每个 4 个单元格可以被认为是双线性插值的角）。因此，您考虑顶点处的值的符号；交叉点出现在符号改变的边上。有 16 个选项，虽然只有 4 个拓扑不同

• 无交叉：4 条边具有相同的符号
• 单峰：1 条不同符号的边
• 双相邻
• 双对面

在双重相反的情况下，可能会有一些歧义，应该计算鞍点的符号。

作为最后一步，您确定交叉点的位置（使用沿网格边缘的插值）。

计算弧长

您想要执行数值积分以获得弧长，即

$$s = \int_{a}^{b} \sqrt { [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 }\, dt.$$

在哪里$t$是一个参数$x(t)$和$y(t)$.

由于您的输入是数字数据$x$和$y$，您可以直接进行数值积分。最简单的情况是用线连接你的点并添加所有这些段

$$s \approx \sum_{k=1}^{N} \sqrt{ (x_{k} - x_{k-1})^2 + (y_{k} - y_{k-1})^2}$$

Python中的一个例子

import numpy as np

def arc_length(x, y):
    npts = len(x)
    arc = np.sqrt((x[1] - x[0])**2 + (y[1] - y[0])**2)
    for k in range(1, npts):
        arc = arc + np.sqrt((x[k] - x[k-1])**2 + (y[k] - y[k-1])**2)

    return arc


# Parabolic segment
npts = 1000
a = 3.
h = 5.
x = np.linspace(-a, a, npts)
y = h*(1 - x**2/a**2)
analytic = np.sqrt(a**2 + 4*h**2) + a**2/(2*h)*np.arcsinh(2*h/a)
numeric = arc_length(x, y)
print analytic, numeric

# Semicircle
npts = 1000
x = np.linspace(-1, 1, npts)
y = np.sqrt(1 - x**2)
analytic = np.pi
numeric = arc_length(x, y)
print analytic, numeric

带输出

12.1673133338 12.1881924551
3.14159265359 3.20484351644

您可以使用高阶导数（插值或 B 样条，如 Model_Math 建议的那样）以获得更准确的结果，但概念是相同的。

即使我知道轮廓的点$f_0$对于一些有用的近似值是恒定的，我可能仍然会使用B-Splines来自适应地细化点序列以收敛到弧长。（如果那是 gobblety gook，我将要给出的参考将在更高级的样条细节中涵盖这一点。）

考虑阅读（可能需要购买） 使用递归平滑样条重建轮廓 - 机器人和自治系统第 57 卷，第 6-7 期，2009 年 6 月 30 日，第 617-628 页的算法和实验验证

如果它们更适合您，那篇文章将回答您的问题或为您指出更基本的方向。