不。该陈述意味着有限元方法，未经修改，将导致违反许多物理上合理约束的守恒定律的数值解（例如，解具有某些单调性，熵只能增长，密度不能变成负数——用数学语言来说，每个时间步的离散解不满足以前一个时间步的解和边界值作为数据的稳定性估计）。

原因很复杂，超出了这个论坛所能解释的范围。但是，如果您允许我的利益冲突，您可以在http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html的第 31 课中找到更多材料。

长话短说。

例子最简单的扩散方程$-\nabla\cdot(A\nabla u) = f$, 在一定的边界条件下形成 BVP。

假设一个有限维近似$u_h$到$u$, 通过离散化方案、连续 Galerkin (CG)、不合格 (Crouzeix-Raviart)、DG (IPDG、LDG、HDG、DPG 等) 或混合公式获得。

如果每个元素上的数值通量 u_h “在某种意义上”满足平衡方程$\boldsymbol{\sigma}_h:= -A\nabla u_h$$\nabla\cdot \boldsymbol{\sigma}_h = f_h$

CG 和不合格是不保守的。

以适当的方式表示，则所有 DG 方案都是保守的。保守性意味着平衡方程在积分意义上在每个元素上都满足。但是对于 DG，还有更多的事情需要考虑，比如的一致性及其在网格骨架上定义的“标量通量”。有关总结，请参阅 DN Arnold、F Brezzi、B Cockburn、LD Marini 撰写的关于 SINUM 的论文，椭圆问题的不连续 Galerkin 方法的统一分析，第 1761-1762 页。$\boldsymbol{\sigma}_h$$u_h$$\hat{u}_h$

混合方法“自然”是保守的，因为平衡方程与本构方程同时被离散化。