计算科学 - 指数拟合如何与有限元法一起使用？ - 吾爱随笔录

受限于一维问题，是否可以根据 Péclet 数 ( $P_e$ ) 用于对流扩散问题？

对于平流-扩散问题，中心离散化在以下情况下变得不稳定 $P_e>2$ ，也就是说，当问题成为平流主导时。

有限体积法 (FVM) 解决此问题的常用方法是指数拟合。例如，在求解对流-扩散方程时，扩散项用中心差分模板离散化，

d (x) u_{x x} \approx D_{2} u (u_{j - 1}, u_{j}, u_{j + 1})

$d(x)u_{xx} \approx \boldsymbol{D}_2\boldsymbol{u}(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$

平流项被离散化为中心差异和逆风模板的加权和，

a (x) u_{x} \approx κ D_{1} u (u_{j - 1}, u_{j}, u_{j + 1}) + (1 - κ) U_{1} u (u_{j}, u_{j - 1})

$a(x)u_x \approx \kappa \boldsymbol{D}_1\boldsymbol{u}(u_{j-1}, u_j, u_{j+1}) + (1-\kappa) \boldsymbol{U}_1 \boldsymbol{u}(u_j, u_{j-1})$

注意有更简单的方法可以使用 FVM 进行指数拟合，上面说明了这个概念。要了解它在实践中是如何完成的，请参阅我的笔记http://danieljfarrell.github.io/FVM/advection_diffusion.html#adaptive-upwinding-exponential-fitting。

关于指数拟合的这个很好的特性是它选择了 $\kappa$ 这样，当离散化权重有利于稳定的逆风模板时 $P_e$ 大且有利于或更高精度的中央模板时 $P_e$ 是小。这是根据价值在本地完成的 $P_e$ . 它还具有保持解的单调性（至少在一维中）的良好特性，这是物理模拟（守恒定律）的一个很好的特性。

如何在一维中使用 FEM 引入指数拟合？该方法是否也像 FVM 一样保持单调性？