有限差分法和有限体积法之间有明显的区别（从方程的点定义到单元格的积分平均值）。但我发现 FEM 和 FVM 非常相似。他们都使用积分形式和单元格的平均值。
FVM 没有的 FEM 方法在做什么？我已经阅读了 FEM 的一些背景知识，我知道方程是以弱形式编写的，这使该方法的陈述点与 FVM 略有不同。但是，我在概念层面上不了解差异是什么。FEM 是否对单元内未知数的变化做出了一些假设，难道这也不能用 FVM 来完成吗？
我主要来自一维视角，所以也许 FEM 具有不止一维的优势？
我在网上没有找到很多关于这个主题的信息。维基百科有一个关于有限元法与有限差分法有何不同的部分，但仅此而已，http ://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method 。
经典有限元方法假设连续或弱连续逼近空间，并要求满足弱形式的体积积分。通过提高元素内的近似阶数来提高精度阶数。这些方法并不完全保守，因此经常与不连续过程的稳定性作斗争。
有限体积方法使用分段常数逼近空间并要求满足分段常数测试函数的积分。这产生了准确的保护陈述。体积积分转换为表面积分，整个物理场以这些表面积分中的通量来指定。对于一阶双曲问题，这是黎曼解。二阶/椭圆通量更加微妙。通过使用邻居来（保守地）重建元素内部状态的高阶表示（斜率重建/限制）或通过重建通量（通量限制）来提高准确性的顺序。重建过程通常是非线性的，以控制解的不连续特征周围的振荡，见总变异减少 (TVD) 和基本非振荡 (ENO/WENO) 方法。非线性离散化对于同时获得高于平滑区域的一阶精度和跨不连续性的有界总变化是必要的，请参见戈杜诺夫定理。
FE 和 FV 都易于在非结构化网格上定义高达二阶精度。FE 在非结构化网格上更容易超越二阶。FV 可以更轻松、更稳健地处理不合格的网格。
这些方法可以以多种方式结合。不连续 Galerkin 方法是使用不连续基函数的有限元方法，因此可以获得黎曼求解器，并且对不连续过程（尤其是双曲线）具有更高的鲁棒性。DG 方法可以与非线性限制器一起使用（通常会降低一些精度），但在没有限制的情况下满足单元级熵不等式，因此可以在没有限制的情况下用于其他方案需要限制器的某些问题。（这对于基于伴随的优化特别有用，因为它使离散伴随更能代表连续伴随方程。）椭圆问题的混合有限元方法使用不连续的基函数，在选择一些求积后，可以重新解释为标准的有限体积方法，看这个答案更多。重建 DG 方法（又名或“Recovery DG”）使用类似 FV 的保守重建和内部顺序富集，因此是 FV 和 DG 方法的超集。
FEM 和 FVM 的概念差异就像树和松树之间的差异一样微妙。
如果您将某个 FEM 方案与应用于特定问题的 FVM 离散化进行比较，那么您可以说在不同的实现方法和不同的近似属性中变得明显的根本差异（正如@Jed Brown 在他的回答中所阐述的那样）。
但总的来说，我会说 FVM 是 FEM 的一种特殊情况，它使用单元格和分段常数测试函数。这种关系也用于 FVM 的收敛性分析，因为它可以在 Grossmann、Roos & Stynes 的书中找到：偏微分方程的数值处理。
基本区别只是附加到结果的含义。FDM 预测解决方案任何方面的点值。这些值之间的插值通常留给用户想象。FVM 预测特定控制体积内保守变量的平均值。因此，它预测了集成的守恒变量，并且可以显示收敛到弱（不连续）解。FEM 给出了一组离散值，通过调用一组基函数，可以在任何地方明确地推导出一个近似解。通常，但不一定，所涉及的变量是保守的。根据特定的求积法则，在某种意义上保守的有限差分方法是可能的。
这些是定义问题。这三种方法都有很多变体。并非每种方法都完全属于一种类型，并且应用领域之间的细节也有所不同。发明一种新方法的研究人员使用那些有助于提供他们正在寻找的特性的工具。正如您似乎已经发现的那样，很难找到一个权威的讨论，我也很难提供一个。我能给出的最好建议是继续阅读，不要期待一个完全明确的答案，而是相信对你有意义的事情。