计算科学 - 如何解决结构类似于二维泊松方程的有限差分离散化但具有非对称系数的问题？ - 吾爱随笔录

最近，我一直在询问解决二维泊松方程的有限差分离散化的方法（参见此处和此处），其形式为：

U_{i - 1, j} + U_{i + 1, j} - 4 U_{i, j} + U_{i, j - 1} + U_{i, j + 1} = f_{i, j}

$U_{i-1,j} + U_{i+1,j} -4U_{i,j} + U_{i,j-1} + U_{i,j+1} = f_{i,j}$

该系统的左侧通常称为 5 点离散拉普拉斯算子。假设线性系统的左侧不是传统的五点离散拉普拉斯算子，而是具有以下形式：

\sum_{k, l} a_{k l}^{i j} U_{k l} = a_{i - 1, j}^{i j} U_{i - 1, j} + a_{i + 1, j}^{i j} U_{i + 1, j} - a_{i, j}^{i j} U_{i, j} + a_{i, j - 1}^{i j} U_{i, j - 1} + a_{i, j + 1}^{i j} U_{i, j + 1} = f_{i, j}

$\sum_{k,l} a^{ij}_{kl} U_{kl} = a^{ij}_{i-1,j}U_{i-1,j} + a^{ij}_{i+1,j}U_{i+1,j} -a^{ij}_{i,j}U_{i,j} + a^{ij}_{i,j-1}U_{i,j-1} + a^{ij}_{i,j+1}U_{i,j+1} = f_{i,j}$

非负非对角线 ( $a^{ij}_{k,l} \ge 0$ 对于所有非对角线条目 $(i,j) \ne (k,l)$ ) 和零行总和，

\sum_{k l} a_{k l}^{i j} = 0

$\sum_{kl} a^{ij}_{kl} = 0$ 对所有人

i, j

$i,j$ . 根据这些条件，矩阵

A = (a_{k l}^{i j})

$A = (a^{ij}_{kl})$ 是一个负数

M

$M$ -矩阵。

问题是稀疏且对角占优（我将其描述为“弱对角占优”，因为对角项恰好等于同一行的非对角元素之和）。由于它表现出与五点拉普拉斯算子相似的结构（除了可能是对称的？），我认为求解该方程组的方法与五点离散拉普拉斯算子的方法之间可能存在一些相似之处。具体来说，我认为以下其中一项可能是正确的：

我们可以将矩阵的稀疏性压缩成一个细带系统（因为每个方程只有五个变量）并使用直接求解器。
我们可以使用某种快速傅里叶变换来解决它。（我认为这个可能性很小。）
我们可以使用某种多重网格方法来迭代地求解系统。

最后，系统将非常庞大，需要并行实施。任何有关并行解决此问题的快速方法的反馈都将不胜感激。