计算科学 - 除了中点/Crank-Nicolson 之外的几何积分器？ - 吾爱随笔录

计算科学颂微分方程

2021-12-11 13:59:52

我有一个一阶 ODE

\dot{x} = a (t) \times x, x (0) \in R^{3} .

$\dot{x} = a(t) \times x, \quad x(0) \in\mathbb{R}^3.$ 和

‖ a (t) ‖ = 1 \forall t

$\|a(t)\| = 1 \;\forall t$ . 因此，对于所有。我希望这反映在 ODE 的数值解中，所以对于时间步长，我正在研究像 Crank-Nicolson 这样的几何积分器。

‖ x (t) ‖ = ‖ x (0) ‖

$\|x(t)\|=\|x(0)\|$

t > 0

$t>0$

一阶 ODE 的其他几何积分器还有哪些？

1个回答

有关此主题的首选参考资料是Hairer、Lubich 和 Wanner (HLW) 的大量书籍。您正在处理的属性类型称为二次不变量，因为是常数。本书第 IV.2 节介绍了这些内容。 $\|x(t)\|^2$

如果方法系数满足，则任何二次不变量都将通过 Runge-Kutta 方法保留

b_{i} a_{i j} + b_{j} a_{j i} = b_{i} b_{j}

$b_i a_{ij} + b_j a_{ji} = b_i b_j$ 对于所有。这种方法是完全隐含的；最广为人知的是高斯方法（由 Butcher 开发并基于高斯求积法）。也有保留二次不变量的分区方法，但这些方法不适用于您的系统。

i, j

$i,j$

保留二次不变量的方法和辛方法本质上是同一类方法，本书的第 VI.7 节专门对该主题进行了更深入的研究。

如果您正在寻找一种为您的问题保留欧几里得范数的显式方法，一种简单的方法是正交投影（HLW 第 IV.4 节）。在您的情况下，这仅意味着进行归一化（通过将其除以其长度）。 $x$

当其他不变量很重要时，正交投影可能是有害的。可以使用（使用任何集成方法，包括显式方法）来保留所选非线性不变量同时仍保留所有线性不变量的最新方法是松弛方法（披露：这是我自己和我的合作者的工作）。

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