计算科学 - 用 Neumann 边界条件计算二阶导数 - 吾爱随笔录 - 问答

用 Neumann 边界条件计算二阶导数

计算科学有限差分边界条件稳定

2021-12-22 13:57:20

我正在为具有 Neumann 边界条件的 PDE 实施有限差分法。我将把我的问题简化为一个维度。

假设我有一个 PDE

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + (other terms)

$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \text{ (other terms)}$

在区间上。我在 PDE 上施加了 Neumann 边界条件 $[a, b]$

\frac{\partial u}{\partial x} = 0

$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

在和处。 $x=a$ $b$

在我的有限差分方案中，我需要在点和。我该怎么做？ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ $x = a$ $x = b$

我在网上找到的一种解决方案是引入虚拟点和和处使用中心方案。根据这些虚拟点的计算方式，得到的近似值往往会发生很大变化。有没有更好的方法来构建这些虚拟点？ $a' < a$ $b'>b$ $a$ $b$

1个回答

让我们为左边界点做它，为简单起见假设。要在 =0 处实现 = 0，假设函数偶数在 =0 附近，让网格点为、等。然后，利用函数处的标准二阶精确中心差计算的二阶导数变为 $x=a$ $a=0$ $u_x$ $x$ $u(x)$ $x$ $x_0=0$ $x_1=h$ $u(-x_1)=u(x_1)$ $x=0$

$u''(0) = \frac{1}{h^2} (u(x_1) + u(-x_1) - 2 u(x_0)) = \frac{2}{h^2} (u_1 - u_0)$

很容易看出，这个表达式只是 =0 处的泰勒展开式，其中 =0。另一种看待它的方式，我们正在创建一个虚拟（鬼）网格点。对于更高阶的方案，使用这种方法需要引入两个或多个鬼点。但是这里的鬼点的选择没有任意性（它们只是实际网格点的镜像），只要在网格上解决解决方案，结果应该按照形式精度收敛到确切的答案方案的顺序。 $x$ $u'(0)$ $x_{-1} = - x_1$

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