这取决于是否$f$是可微分的$x$和$y$，以及函数在$x$/$y$. 在最简单的情况下，您可以只写下必要的最优条件

$$\begin{pmatrix} \nabla_x f(\bar x,\bar y) \\ \nabla_y f(\bar x,\bar y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ 对于鞍点$(\bar x,\bar y)$， 在哪里$\nabla_x f(x,y)\in \mathbb{R}^d$是相对于的梯度$x$等，并将牛顿方法应用于该非线性方程组。

或者，您可以使用迭代方法（各种称为ascent-descent、Arrow--Hurwicz或交替方向方法）：$x^0,y^0$并设置

$$\begin{aligned} x^{k+1} &= x^k + \alpha_k \nabla_x f(x^k,y^k)\\ y^{k+1} &= y^k - \alpha_k \nabla_y f(x^k,y^k) \end{aligned}$$ 选择合适的步长$\alpha_k>0$. 有多种版本使用$x^{k+1}$代替$x^k$在更新中$y$或者（在重新排序迭代之后）反之亦然，或者包括一个外推步骤。

如果$f$不可微分但凸/凹，通过使用近端映射而不是梯度可以实现类似的方法；目前最广泛使用的特殊情况的方法$f(x,y) = g(x)+h(y)$以原始对偶混合梯度方法的名称而闻名（或者通常，在提出它的论文的作者之后，Chambolle--Pock 方法）。

所有这些在 Matlab 中实现都相当简单（因此很容易移植到 Python 或 Julia）。

编辑：我应该指出，与非线性优化相比，没有找到非凸可微函数鞍点的一般理论（据我和谷歌所知）；我熟悉的所有作品都假设凸面/凹面或非常具体的结构$f$（例如，作为凸函数的差异或来自约束优化问题的拉格朗日）。以上只是对这些论文中使用的两类粗略方法的描述。