计算科学 - 关于 SDIRK 方法的实现和限制的很好的参考 - 吾爱随笔录

计算科学有限元 pde 颂参考请求

2021-12-08 15:42:59

对于许多 PDE 的求解，需要隐式的高阶时间积分方案。我对不需要恒定时间步长的方案特别感兴趣。

我非常熟悉 BDF 时间积分方案，并且我知道它们在稳定性和时间步长变化方面的（有时是苛刻的）限制。

我已经看到文献中广泛提及 SDIRK 方案。据我所知，它们是多步隐式方法，需要在每次迭代时解决多个常规大小的线性系统（即不大于隐式欧拉给出的）。但是，我看到的大多数文章更多是对稳定性的讨论，而不是对实现的讨论。此外，大多数人专注于 4 级或更高级别，但 2 级或 3 级会更接近我的需求。

文献中是否有简单的参考资料突出了要实施的数值方案以及稳定性和时间步长变化方面的限制是什么？我一直无法找到足够简单和直截了当的东西。

1个回答

我认为下面的幻灯片很好地概述了 IRK 和 DIRK 方法的实现。

具体来说，请看幻灯片 9 和幻灯片 14。如果您的 ODE 的大小为 m 且 RK 方法的阶段为 s，那么您需要设置大小为的矩阵。然而，在显式 RK 方法的情况下，所有非零系数都低于对角线，这意味着当前阶段的更新仅取决于先前阶段。因此，明确的。 $ms \times ms$

在 DIRK 方法中，更新仅取决于当前阶段和之前的阶段，因此每个阶段的评估就像一个隐含的欧拉步骤，并进行了一些修改。但是对于完全隐式方法，所有阶段都依赖于所有其他阶段，因此您需要求解一个完整的系统。

稳定性是一个复杂的主题，与您要解决的 PDE 密切相关。理论估计通常仅适用于线性问题。以下是一篇很好的评论文章，更详细地处理了该主题。

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