计算科学 - Poisson-Boltzmann 求解器的表面电荷边界条件 - 吾爱随笔录

计算科学模拟边界条件

2021-11-30 16:16:32

我想为半导体和电解质界面的模拟建立一个表面电荷边界条件。

二维泊松示例和表面电荷边界条件如下图所示。

二维泊松和表面电荷边界条件

然后我用边界条件替换 LHS 的第二部分。

最终结果如图 3 所示。

最后结果

在我完成边界条件的替换之后。泊松方程的第二部分变成了一个常数值，即表面电荷密度除以 y 方向网格。这个结果让我觉得有点奇怪。y方向通量的影响现在消失了！？

这个结果正确吗？

如果不是，我应该应用哪种边界条件进行表面电荷模拟？

1个回答

您的方程式看起来是正确的，只是您在上面放了一个减号 $\rho_d$ 在最后的等式中。然而，错误（或误解）是假设有限差分法（FDM）可以表示理想的表面电荷。您给出的差分方程无法分辨出电荷是否由 $\nabla^2 \phi$ 在给定点是由于表面电荷或每单位体积的电荷。

我的建议是将每单位体积的电荷密度固定为平均表面电荷密度

ρ_{d i, j} = \frac{σ_{s i, j}}{Δ y} (at the boundary)

$\rho_{d \, i,j} = \frac{\sigma_{s \, i,j}}{\Delta y} \, \, \, \, \, \textrm{ (at the boundary)}$

我认为这种方法比试图将理想的表面电荷强加到差分方程中要容易得多。

附加评论

您将需要以某种方式解决电介质边界。Sadiku（Matlab 电磁学中的数值技术，第 3 版，第 148-149 页）提供了一个很好的示例，说明如何修改差分方程以处理电介质边界。

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