我读了一篇关于我也感兴趣的主题的硕士论文。这项工作涉及对均匀、弹性、各向同性材料的位移运动方程的求解：

在哪里$\mathrm{u}$是位移矢量，$\lambda$和$\mu$是 Lamé 常数（已知有一些不确定性），并且$\mathbf{F}$每单位体积的外力（确切已知），特别是它的稳态变量，即所谓的 Navier-Cauchy 方程。

更准确地说，域不是无限的和同质的：它是一个具有几个不同区域的圆盘，并且 Lamé 常数是每个子区域上的单独常数；在这些子区域之一$\mu$变得非常非常小。

论文作者采用极坐标有限差分空间离散化方法，计算待求解线性系统的系数矩阵和数据向量。

作者注意到系统的条件很差，并且通过分析该矩阵的奇异值分解，通过奇异值谱的某些特征，显然可以得出结论，它是（或表现为）一个离散的不适定问题，来自一个离散化的连续逆 不适定问题。因此作者应用了 Tickhonov 正则化来获得一个明显有意义的解决方案。

读到 Navier-Cauchy 方程可能是不适定的，或者这是一个逆问题，我有点惊讶。

我对弹性问题的适定性的了解：

• 在“小位移”假设下，如果弹性张量使得变形能是正定的，则​​弹性问题的解（如果存在）是唯一的（基尔霍夫定理）；
• 解决方案的存在“证明起来更复杂，但已在对应用程序有用的几个场景中得到证明”。

我对 Hadamard 意义上的适定性的第三个要求一无所知，即解决方案是否持续依赖于数据。

现在忽略这篇论文，在这一点上，我想我需要更多地了解线性弹性问题和 Navier-Cauchy 方程的适定性。

• 关于弹性问题的适定性（请不要太高级）有什么好的、权威的参考资料？

• Navier-Cauchy 方程是适定的吗？是否存在问题可能变得不适定的情况？Lamé 常数不均匀、可能接近于零和/或不连续这一事实如何影响适定性？

• 如果问题证明是适定的，但线性静止系统是病态的，那么处理这种特定的不良条件的好方法是什么？例如预处理器？什么好？