计算科学 - 通过 FFT 进行切比雪夫谱微分 - 吾爱随笔录

通过 FFT 进行切比雪夫谱微分

计算科学傅立叶分析谱法

2021-12-22 16:42:18

我正在使用此处“详细信息”下简要描述的切比雪夫光谱微分技术。这个想法是获取初始数据 $v_0,v_1\,...,v_N$ 并将其与自身联合存储为向量

V = [v_{0} v_{1} . . . v_{N - 1} v_{N} v_{N - 1} v_{N - 2} . . . v_{1}]^{⊤}

$V = [v_0\,v_1\,...\,v_{N-1}\,v_N\,v_{N-1}\,v_{N-2}\,...\,v_1]^\top$

从那里，这个向量的傅里叶变换 $V$ 被采取。但是，对于傅里叶变换，可以提供良好的数据插值 $V$ , $V$ 应该是平滑和周期性的。虽然 $V$ 是连续的和周期性的，它的一阶导数（在条目周围）（通常）存在不连续性 $v_{N-1},v_N,v_{N-1}$ ）。那么，为什么这种区分方法仍然如此有效呢？

1个回答

啊，我已经意识到我自己的问题的答案：

重要的是要认识到初始数据 $v_0,...,v_N$ 不是存储在统一的网格上，而是存储在切比雪夫点上

x_{j} = \cos \frac{π j}{N}, j = 0, . . ., N .

$x_j = \cos\frac{\pi j}{N},\qquad j=0,...,N.$

现在只要初始数据有一个不错的多项式插值，那么

\begin{aligned} v_{j} = p (X_{j}) & = {一种}_{0} + {一种}_{1} X_{j} + \dots + {一种}_{ñ} X_{j}^{ñ} \\ = {一种}_{0} + {一种}_{1} 因 \frac{π j}{ñ} + \dots + {一种}_{ñ} 因^{ñ} \frac{π j}{ñ} \\ = {一种}_{0} + {一种}_{1} 因 θ_{j} + \dots + {一种}_{ñ} 因^{ñ} θ_{j} = F (θ_{j}) \end{aligned}

$\begin{align} v_j = p(x_j) &= a_0 + a_1x_j + \cdots + a_Nx_j^N \\ &=a_0 + a_1\cos\frac{\pi j}{N} + \cdots + a_N\cos^N\frac{\pi j}{N} \\ &=a_0 + a_1\cos\theta_j + \cdots + a_N\cos^N\theta_j = f(\theta_j) \end{align}$ 在哪里

θ_{j} = π j / N \in [0, π]

$\theta_j = \pi j/N\in[0,\pi]$ 是一个统一的网格。因此，在新的统一网格上，数据是偶函数（因此是余弦的幂），特别是

d f / d θ |_{θ = 0} = 0

$df/d\theta|_{\theta=0} = 0$ . 因此该功能可以很容易地扩展到

[- π, π]

$[-\pi,\pi]$ ，给出一个平滑、均匀、周期性的函数，其数据位于均匀间隔的网格点：傅里叶变换已经成熟。

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