这是一个相当大的问题:-)

我可能会建议您查阅有关数值线性代数的书 - 例如 Y. Saad 的稀疏线性系统迭代方法。这是一个庞大而复杂的主题，需要学习许多不同的怪癖。

然而，一般来说，低条件数是好的，因为这意味着解决方案对系统右侧的变化不太敏感。正定性很重要，原因有很多（有些方法，例如共轭梯度，没有它就无法工作）。您对矩阵的对称性、结构和属性了解得越多，就越容易找到线性求解器，更重要的是，知道您的结果会有多好。

如果这个答案不是您所希望的，我很抱歉，但可以就这个主题写整本书。也许您可以将问题缩小一点——您是在解决一个特定的问题，还是只是为了学习数值线性代数？

为了在直接求解器方面添加一点，可以利用矩阵对称性来为您节省 2 倍的内存（无论确定性如何）。对称正定甚至更好，因为您甚至不需要旋转并且可以使用基于 BLAS3/GEMM 的 Cholesky 分解。对称不定矩阵仍然可以节省内存，但应使用 LDL 进行分解，这需要 2x2 旋转才能稳定。这只会产生 BLAS2 的速度（我认为您可以为 BLAS3 阻止这些算法，但最终会得到较弱的稳定性保证）。