计算科学 - 如何在 Python 上使用 Drift-diffusion 模型模拟基本半导体模型？ - 吾爱随笔录

计算科学 pde 计算物理学模拟

2021-12-07 17:15:05

我正在尝试为教学目的模拟基本的半导体模型——从漂移扩散模型开始。虽然我不想使用现成的半导体模拟器——我将学习其他（常见的、最近的或不知名的）模型，但我确实想使用现成的 PDE 求解器。

但即使对于简单的一维情况，漂移扩散模型也包含许多耦合的非线性偏微分方程。

电流密度方程：

J_{n} = q n (x) μ_{n} E (x) + q D_{n} \nabla n

$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + q D_n \nabla n$

J_{p} = q p (x) μ_{p} E (x) - q D_{p} \nabla p

$J_p = q p(x) \mu_p E(x) - q D_p \nabla p$

连续性方程：

\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{n} + U_{n}

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$

\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{p} + U_{p}

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$

泊松方程：

\nabla \cdot (ϵ \nabla V) = - (p - n + N_{D}^{+} - N_{A}^{-})

$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$

和一些边界条件。

是否有一个包（最好是开源的）可以以这种形式采用这些方程并求解它们？或者工具所需的变分形式是否不那么难？无论如何，我有什么选择？

2个回答

我无法为您提供可以为您求解方程的求解器。

但是，我将提供警告：

如果您想使用有限元方法，尤其是所谓的连续 Galerkin 方法，您将需要方程的弱形式。对于您提供的方程，获得形式并非易事，但也不是特别难以获得。如果您选择有限元方法并导出方程的弱形式，您应该能够将 FEniCS（https://fenicsproject.org/）用于其他所有方法。

求解所得到的线性方程组耦合系统并不困难（使用牛顿或牛顿-坎托罗维奇方法），但如果您想要获得可接受的执行时间，则需要一些思考。总而言之：求解器的定制实现将非常耗时（您必须对其进行测试），因此请尽量避免它，除非您真的想了解求解器可能出现的问题。

我的背景：我在一位朋友（数值数学）的硕士论文中建议了他如何解释他从解决 Nernst-Planck-Poisson 方程的最优控制问题中获得的数值结果（这基本上是你提供的方程）。不过，他正在用 2D 解决它（如果你也算时间的话，也可以用 2+1 D 解决它），而我们正在使用我的 C++。

我开发了一个开源，它使用 Python 前端以脚本形式指定 PDE。

所有这一切的一个关键点是，Scharfetter-Gummel 方法在历史上一直是求解漂移扩散方程的最成功的方法。这种方法与使用有限体积方法最兼容。有一些混合方法使用有限元和有限体积的组合形式。

请在此处查看接受的答案：

二极管仿真结果如下所示：

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