你想解决的问题，用一个小$\kappa$是“奇异扰动的”，即它通常具有边界层和内部层。你能想到的方式是，如果$\kappa$为零，那么你会得到$u=f$，并且对于$\kappa>0$, 你得到一个平滑的版本$f$带有平滑长度刻度$L$这与$\kappa$在某种程度上——我相信它是$L\propto\sqrt{\kappa}$.

如果你有那个网格尺寸，这很好用$h$大约等于或小于$L$, 但如果$h>L$，那么您实际上是在尝试解决不连续的函数。对于这些类型的函数，除非您使用（i）是非线性的或（ii）具有足够的人工扩散以使物理扩散产生的长度尺度的方案，否则您将得到吉布斯现象$\kappa$加上人工扩散至少与网格尺寸相同。

有限体积方法（基本上是分段常数“不连续 Galerkin”方案）和添加$\alpha h^2$到$\kappa$落入第二类。另一种方法是使用非线性冲击捕获方法，尽管这会使问题的解决变得更加复杂。