我正在尝试以 Python 形式解决 PDE，

$\dfrac{\partial c(\mathbf{x}, t)}{\partial t} = \mathrm{D} \nabla^2 c(\mathbf{x}, t) -\gamma \rho(\mathbf{x}, t) c(\mathbf{x}, t)$

在哪里$c$表示化学物质的浓度，$\mathrm{D}$和$\gamma$是常数，并且$\rho$表示一些大点粒子（实际上是细菌模型）的密度场。这一切都是在 2D 中完成的。

问题是我正在模拟由$\rho$作为在连续空间中移动的个体代理，而不是作为服从 PDE 的密度场。

我如何解决这个问题是获取所有粒子的位置并将其变成粗密度场$\rho$，然后用它来求解 PDE。

到目前为止，我一直在手动执行此操作，将粒子位置分箱到笛卡尔网格上，然后使用有限差分迭代 PDE。到目前为止，这工作得很好。

但是现在我想在具有弯曲边界的更复杂的 2D 几何中求解 PDE，所以我认为我需要使用有限体积法而不是有限差分法。这超出了我的手工能力范围，所以我一直在研究像 FiPy 和 FEniCS 这样的包。

对我来说，似乎有两个问题我不知道他们是否可以处理：

1. 有没有一种简单的方法可以确定特定点位于哪个体积元素中？如果是这样我可以计算$\rho$在每个时间步手动，这样很好。
2. 假设我可以计算$\rho$，我可以将这样的变量字段提供给 PDE 求解器，然后它将用于迭代方程吗？