有一个简单的测试来查看点$(x, y)$是否包含在曲线内。画一条从$(x, y)$到无穷远的射线，数一下它穿过曲线的次数；如果计数是奇数，则$(x, y)$在封闭区域内；否则，它在外面。

要将其转化为实用算法，您可以首先构建曲线的多边形近似，并查找来自$(x, y)$的光线相交的所有线段。该操作在多边形的段数上是线性的。获得所有候选线段后，您可以将它们用作牛顿搜索的基础，以找到更精确的射线与曲线的交点。

最后一步可能看起来过于谨慎，但如果该点比分段线性近似的精度更接近曲线，您很容易得到错误的答案。由于您有曲线的解析表达式，因此您还可以解析计算它的导数；如果光线真的很接近与曲线相切，那就麻烦了。

即使对于完全是多边形的曲线，奇偶规则也可能在有限精度算术中失败。计算几何很棘手，因为经常有奇怪的、不直观的边缘情况。

de Berg 和 Cheong的书是这方面的一个很好的参考。如果你想要一个 Python 库来进行实验，我对Shapely很幸运。

还有缠绕数测试，在 Daniel 链接到的同一篇 Wikipedia 文章中进行了描述。对于像您这样的简单曲线，这两种算法给出了相同的结果，但对于像这样的自相交曲线，它们可能会有所不同：

光线投射方法认为两个点都位于曲线之外。另一方面，和的绕组数分别是和，所以如果你想考虑像这样的点位于曲线内，你可以使用非零规则而不是奇偶规则。$p$$q$$2$$0$$p$

当然，丹尼尔提到的关于充分抽样的警告适用于这两种方法。