从某种意义上说，如果存在解决方案，那么您的问题就不是唯一的。要看到这一点，让 ($a_i^*$,$b_i^*$)，表示方程的解$F(x_i, a_i,b_i)=y_i$,$i\in\{1,\ldots,N\}$（或者如果无法实现相等，则适当成本函数的最小化）。那么，任意一对函数$\{a^*(x)$,$b^*(x)\}$这样$a^*(x_i)=a_i^*$,$b^*(x_i)=b_i^*$， 对所有人$i\in\{1,\ldots,N\}$, 是您问题的解决方案。显然，所有可能解决方案的集合是不可数的，即使附加要求它们是“平滑的”也是如此。

为了避免解决方案中的这种歧义，一种方法是施加附加条件。例如，您可以将解函数限制为属于有限维（和“平滑”）空间（例如，有序多项式空间$n$）。在这种情况下，（困难的）函数优化问题被转换为（更简单的）确定有限变量集的问题。

您可以离散化未知函数$a$和$b$，然后将其表述为具有平滑正则化的最小二乘优化问题。具体来说：

$$\min_{\mathbf{a}, \mathbf{b}} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\left( f_i - F(x_i, \mathbf{m}_i^T \mathbf{a}, \mathbf{m}_i^T \mathbf{b}) \right)^2 + \frac{\alpha}{2} \mathbf{a}^T R \mathbf{a} + \frac{\alpha}{2} \mathbf{b}^T R \mathbf{b}$$

在哪里

• $\mathbf{a}$和是和关于某些离散基函数集的系数（例如，“hat " 函数), $\mathbf{b}$$a$$b$$\{\phi_j\}_{j=1}^m$ $$a(x) = \sum_{j=1}^m \mathbf{a}_j \phi_j (x)$$
• $f_i$是您尝试拟合的第$i$
• $\mathbf{m}_i^T := \begin{bmatrix}\phi(x_1) & \phi(x_2) & \dots & \phi(x_N)\end{bmatrix}$是“在向量处的测量”，使得 $x_i$ $$\mathbf{m}_i^T \mathbf{a} = a(x_i)$$
• R 是具有 Neumann 边界条件的拉普拉斯算子的离散形式，加上恒等式的一些小的倍数： $\tau$ $$R := \Delta_N + \tau I.$$

然后可以使用 Gauss-Newton 方法或 L-BFGS 或类似方法来解决此问题（手动计算目标函数的导数很简单）。在 Python 中，您可以使用 FEniCS 进行离散化，并使用 Scipy 进行优化，尽管它需要了解一些有限元知识和一些优化知识。