是的（全局！）最小化当且仅当已经在您链接到的注释中得到充分解释的事实 - 这真的很简单，但这里是为了完整起见再次争论。假设是的全局最小化器。然后，根据定义， 这正是凸次微分（和次微分）的定义。对于另一个方向，您只需交换最后一个等式即可看到一个定义暗示另一个。（请注意，这个论点仅适用于全局最小化器——这就是凸性$x^*$$f$$0\in\partial f(x^*)$$x^*$$f$

至于非凸函数的其他属性：简短的回答是none。请注意，反向假设是可微分的，即集合是非空的。这听起来并不多（事实上，对于任何（局部有限）凸函数都是如此），但它几乎只适用于凸函数。事实上，您可以证明如果次微分处处非空，则是凸的（参见https://math.stackexchange.com/q/1499059）。所以所有其他属性——它们是关于次微分的某些元素的陈述——通常只在空洞的意义上是正确的（作为关于空集的陈述）。$f$$\partial f(x^*)$$f$

然而，非凸函数的子微分有进一步的推广，它们对于更大（但仍然受限）的函数类是非空的，并且承认相似的性质（特别是必要的最优性条件）。不用说，班级越大，他们的工作就越棘手。一个突出的例子是 Clarke 的局部 Lipschitz 连续函数的广义梯度（参见第 10 章 Clarke，泛函分析，变分法和最优控制，Springer 2013）。您可以在Schirotzek, Nonsmooth analysis , Springer 2007中找到更广义的导数。

就注释中使用的次微分定义而言，该陈述根据定义是直接的。

对于更一般的次微分概念，Clarke, FH (1990) 的第 38 页上的命题 2.3.2，“优化和非平滑分析”说：

如果$f$达到局部最小值或最大值$x$， 然后$0\in \partial f (x).$