有一个众所周知的问题，叫做正交 Procrustes 问题，

$\min_{Q} \| AQ-B \|_{F}$

受约束

$Q^{T}Q=I.$

请注意，目标函数中的范数是 Frobenius 范数，而不是矩阵 2 范数。

对于这个问题，解决方案是

$Q=UV^{T}$

其中具有 SVD$A^{T}B$

$A^{T}B=U\Sigma V^{T}$。

这个 Procrustes 问题的解决方案是在很多地方得到的。例如，请参见此处的 Wikipedia 页面：

http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_Procrustes_problem

如果你的问题有目标而不是，则可以通过在范数内转置来将问题重写为 Procrustes 问题，$\min \| R^{T}Y-B^{T}X \|_{F}$$\| R^{T}Y-B^{T}X \|_{2}^{2}$

$\min \| Y^{T}R - X^{T}B \|_{F}$

受制于

$R^{T}R=I$。

解决方案是

$R=UV^{T}$

其中具有奇异值分解$YX^{T}B$

$YX^{T}B=U\Sigma V^{T}$。

这与您引用的论文中给出的解决方案完全匹配。

我不认为最小化 2 范数等同于最小化 Frobenius 范数。在我看来，您引用的论文的作者可能混淆了 Frobenius 范数和 2 范数。

在我终于接触到沃森 1993 年的论文之后添加...

看

GA沃森。解决正交 Procrustes 问题的推广。在数值数学的贡献中，世界科学应用分析丛书，世界科学出版社，1993 年。

) 并且矩阵是恒等时，使用 SVD 的经典解决方案相对于 2 范数是最优的——也就是说，我们正在最小化。 $m=n$$A$$\min \| Q-B \|_{2}$

否则，Watson 提供了一种迭代算法，该算法需要在每次迭代中求解一个二次规划问题。

我在网上的光谱范数中找不到关于 Procrustes 问题的任何内容，但我觉得与 Frobenius 范数相同的结果应该成立，所以我想出了一些办法。

假设我们给定一个矩阵并希望找到一个正交矩阵最小化 的 SVD ，即 特别是，我们用，因此。$M$$Q$

$$\min_{Q^T Q=I} \| M - Q \|_2.$$ $M$ $$M = U \Sigma V^T.$$ $u_j,v_j$$M v_j = \sigma_j u_j$$\|M v_j\| = \sigma_j$

对于任何这样的正交矩阵和任何具有的向量，我们有 并通过插入奇异向量，我们得到 另一方面，特殊选择导致 因此也是谱范数$Q$$v$$\|v\|=1$

$$\| M - Q \|_2 \ge \| Mv - Qv \| \ge \Big| \| Mv \| - \| Qv\|\Big| = \Big| \| Mv \| - 1 \Big|,$$ $v_j$ $$\| M - Q \|_2 \ge \max_j | \sigma_j - 1 |.$$ $Q = UV^T$ $$\| M - Q \|_2 = \| U (\Sigma - I) V^T \|_2 = \| \Sigma - I \|_2 = \max_j |\sigma_j - 1|$$ $M$

然而，这并不适用于更普遍的问题根据上面 Brian Borcher 引用的论文：Watson, GA “解决正交 Procrustes 问题的推广”。应用分析世界科学丛书 2 (1993): 413-426$\| A Q - B\|_2 \to \min$