计算科学 - FEM中的长度单位会影响数值条件吗？ - 吾爱随笔录

FEM中的长度单位会影响数值条件吗？

计算科学有限元线性求解器条件数

2021-12-20 23:22:44

我尝试使用 FEM 解决耦合 PDE 系统。不幸的是，原始矩阵的条件很差。经过几天的反复检查和思考，我怀疑以下原因：

给定一个 PDE

a * Laplacian(u) + b * u = 0

对于 FEM，必须计算两个算子矩阵，一个用于 Laplacian(u)，一个用于 u。

据我所知，当 L 是元素大小时，Laplacian(u) 的矩阵条目以 1 / L 缩放，而 u 的矩阵条目以 L 缩放。

我的系统尺寸为几微米，但我使用米作为长度单位。所以 Laplacian(u) 的元素非常大，而 u 的元素非常小。

那么，我可以通过使用较短的元素长度单位（可能是毫米或微米）来改善矩阵条件吗？（我的意思不是 u 的单位，而是几何的单位。）

2个回答

不，不同的单元不会改变系统的状况。假设您的 FEM 系统是然后参数，这里类似于，将取决于单位，仅允许您添加“ ”和“ ”的单位。然后，重新缩放将意味着乘以一个不会改变系统矩阵的条件数的常数。

A u + β M u = 0. (*)

$Au + \beta Mu = 0. \quad (*)$

β

$\beta$

b / a

$b/a$

A

$A$

M

$M$

(*)

$(*)$

和的条目是涉及形状函数的整数。它们的值与您表达它们的单位无关，它们的比例类似于或。说和。表示为将导致这是方程 (*) 的简单缩放： $A$ $M$ $L$ $1/L$ $L=1mm$ $\beta = \frac{1}{mm^2}$ $L$ $L=10^{-3}m$

A [\frac{1}{m m}] + β [\frac{1}{m m^{2}}] M [m m] = 10^{3} A [\frac{1}{m}] + 10^{6} β [\frac{1}{m^{2}}] 10^{- 3} M [m]

$A \left [\frac{1}{mm}\right] + \beta\left[\frac{1}{mm^2}\right]M\left[mm\right] = 10^3A\left[\frac{1}{m}\right]+10^6\beta\left[\frac{1}{m^2}\right]10^{-3}M\left[m\right]$

10^{3} {A [\frac{1}{m}] + β [\frac{1}{m^{2}}] M [m]}

$10^3\left \{A\left[\frac{1}{m}\right] + \beta\left[\frac{1}{m^2}\right]M\left[m\right]\right\}$

但是，如果您的矩阵条目低于机器精度，则重新缩放将提高准确性。

不。这两个运算符的比例将驱动条件数而不是它们的绝对大小。您可以将整个方程乘以任意常数，而无需更改条件数。

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