看起来您正在优化球的表面。该约束是非凸的，但我认为根据您的目标，解决方案将始终在表面上，因此您可以将其放松为，现在它是凸的 - 这是一个好的开始。所以让我们做出改变。$\leq 1$

现在，如果您忽略绝对符号，您将在球上最大化线性目标。这很简单。所以解决两个优化问题

$\begin{align} & \text{max}_{x_i} \quad \sum_{i=1}^{4} a_i x_i \\ & s.t. \quad \sum_{i=1}^4 x_i^2 \leq 1 \end{align}$

和

$\begin{align} & \text{max}_{x_i} \quad -\sum_{i=1}^{4} a_i x_i \\ & s.t. \quad \sum_{i=1}^4 x_i^2 \leq 1 \end{align}$

并取两者中最好的。这两个问题都有一个封闭形式的解决方案 - 您可以使用 Karush-Kuhn-Tucker 条件来找到它，或者只是将其放入像 Gurobi/CPLEX/Mosek/IPOPT/任何可以处理二次约束的解决方案中。