计算科学 - ODE 边值问题松弛方法参考请求 - 吾爱随笔录

计算科学有限差分颂

2021-12-22 00:29:18

这是一个有点基本的问题，我猜。以 ODE 边值问题为例

\frac{1}{λ} y^{″} - y^{'} = 0, y (0) = 0, y (1) = 1,

$\frac1\lambda y''-y'=0, \qquad y(0) = 0, \quad y(1) = 1,$ 解在均匀网格 , ,上离散化，如下：并求解得到的三对角系统，例如，：

y (x) = \frac{e^{x λ} - 1}{e^{λ} - 1} .

$y(x) = \frac{e^{x\lambda}-1}{e^\lambda -1}.$

x_{k} = k h

$x_k = kh$

h = 1 / n

$h=1/n$

k = 0, \dots, n

$k=0,\ldots,n$

\frac{1}{λ} \frac{y_{k - 1} - 2 y_{k} + y_{k + 1}}{h^{2}} - \frac{y_{k + 1} - y_{k - 1}}{2 h} = 0,

$\frac1\lambda \frac{y_{k-1}-2y_k+y_{k+1}}{h^2}-\frac{y_{k+1}-y_{k-1}}{2h} = 0,$

n = 100, λ = 10^{4}

$n=100, \lambda=10^4$

在此处输入图像描述

随着的增加，该方案仍然收敛。 $n$

一种。你能推荐一个很好的参考来描述这种事情吗？我认为初值问题的刚度并不完全相同，这就是我问这个问题的原因，但也许我错了。

湾。如果没有选择更好的方法，是否有一个“过滤器”可以应用于输出以恢复真实解决方案的更好近似（特别是使转换后的输出为正，如它应该是）。 $\mathbf{y}_{0:n}$

1个回答

这是一个对流主导的问题。由于很小，因此您的方程约为。但是这个解决方案不能满足你的边界条件。当您接近处创建边界层。在边界层中不能忽略项。 $1/\lambda$ $y'=0$ $x=1$ $x=1$ $y''/\lambda$

如果你写

y_{k} = \frac{1}{2} (1 + λ h / 2) y_{k - 1} + \frac{1}{2} (1 - λ h / 2) y_{k + 1}

$y_k = \frac{1}{2}(1 + \lambda h/2) y_{k-1} + \frac{1}{2}(1 - \lambda h/2) y_{k+1}$

如果解决方案将是单调的

λ h < 2

$\lambda h < 2$

这称为细胞 Peclet 条件。所以你的网格必须比

h < \frac{2}{λ}

$h < \frac{2}{\lambda}$

您可以看到增加需要非常精细的网格。如果您的网格满足上述条件，您应该得到一个好的解决方案。 $\lambda$

另一种选择是使用迎风方案。在您的情况下是（请如上所述检查稳定性）

\frac{1}{λ} \frac{y_{k - 1} - 2 y_{k} + y_{k + 1}}{h^{2}} - \frac{y_{k} - y_{k - 1}}{h} = 0

$\frac{1}{\lambda} \frac{y_{k-1} - 2 y_k + y_{k+1}}{h^2} - \frac{y_k - y_{k-1}}{h} = 0$

但这只是一阶准确的。

另一种分析方法是根据 M 矩阵。

有关更多信息，您可以参考一些文本，例如，

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