计算科学 - 如何求解二阶耦合非线性微分方程 - 吾爱随笔录

对于我正在做的一个项目，我必须使用我自己的代码以数值方式求解以下微分方程组：

x^{2} K^{″} = K H^{2} + K (K^{2} - 1)

$x^2K'' = KH^2 + K(K^2-1)$ 并且，

x^{2} H^{″} = 2 K^{2} H + α H (H^{2} - x^{2})

$x^2H'' = 2K^2H + \alpha H(H^2-x^2)$ 这里，

K

$K$ 和

H

$H$ 是因变量，而

α

$\alpha$ 是一个参数，我必须从 0 变化到无穷大。解析解只存在于

α = 0

$\alpha=0$ 的情况。边界条件是，

K (ϵ) = 1 H (ϵ) = 0

$K(\epsilon) = 1 \\ H(\epsilon) = 0$ 并且，

K (\bar{ϵ}) = 0 H (\bar{ϵ}) = \bar{ϵ}

$K(\bar{\epsilon}) = 0 \\ H(\bar{\epsilon}) = \bar{\epsilon}$ 这里，

ϵ

$\epsilon$ 是一个任意小的数字，（比如 0.0001），而

\bar{ϵ}

$\bar{\epsilon}$ 是一个任意大的数字，（比如 400）。

简而言之，边界条件是 $K$ 趋于 0 而 $H$ 趋于 $x$ 。

我试过的：

对于解析案例，我尝试过 RK4、RKF(Fehlberg)、RK4 based Shooting 和 scipy 的solve_ivp。然而，所有人都遇到同样的问题，它们在 10 左右偏离解析解（见附图，第一个是与解析相比的两个函数，第二个是导数）。

我也尝试过迭代有限差分逼近，因为我有初步的猜测，它遇到了同样的问题。

唯一有效的内置函数是solve_bvp。谁能建议我为这个系统提供两种或三种数值方法，用于任意，以解决 bvp 并为这些方法指出一些好的资源？我所拥有的是对解决方案的初步良好猜测，这是情况的解析解决方案。 $\alpha$ $\alpha=0$

编辑：这可能会有所帮助。解析案例的解决方案是，

K = \frac{x}{\sinh (x)}

$K = \frac{x}{\sinh(x)}$ 和 Edit2：另外，我什至尝试引入新变量和，其中： Trial1：取出 x 的幂，即并且对于也是如此。Trial2：取出渐近行为，即 and

H = \frac{x}{\tanh (x)} - 1

$H = \frac{x}{\tanh(x)} - 1$

k

$k$

h

$h$

K = x k

$K=xk$

H

$H$

K = e^{- x} k

$K = e^{-x}k$

H = x h

$H=xh$

我重铸了方程，结果还是一样。

更新：所以我尝试了更多方法并实现了solve_bvp的残差控制方法。根据@superbee 的建议，我使用 Newton Ralphson 技术实现了有限差分法并且它有效！简而言之，我通过给出初始猜测和有限差分近似，生成了一个非线性代数方程组。我找到了雅可比行列式，并找到了一个更新的猜测：

y^{(i + 1)} = y^{(i)} - J^{- 1} F

$y^{(i+1)} = y^{(i)} - J^{-1} F$