考虑矩阵 a$2\times 2$矩阵$A$：

$$A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{array}\right)$$

的奇异值$A$是：

$$\sigma_1 = \sqrt{2}+1,\quad \sigma_2=\sqrt{2}-1$$

产生条件数（2-范数）$\kappa_2(A)=3+2\sqrt{2}$.

如果我们考虑一个块对角雅可比预条件子$J=I_2$块大小为 1（有效地使其成为对角线或普通 Jacobi 预处理器）：

$$JA=I_2A \implies \kappa_2(JA) = \kappa_2(A)=3+2\sqrt{2}\approx5.828$$

这里，$I_2$表示大小为 2 的单位矩阵。

现在，如果我们能够找到一个矩阵$P$具有相同的结构$J$（对于我们的例子是对角线），这样$\kappa_2(PA)<\kappa_2(JA)$，那么我们可以说$J$ 不是最优块对角预条件子。

让我们考虑一下$P$， 如下：

$$P(x,y)=\left(\begin{array}{cc} x & 0 \\ 0 & y \end{array} \right)$$ 并通过一个优化器运行它，目标是最小化$\kappa_2(PA)$. 我能够达到$\kappa_2(PA)\approx4.236$和$x\approx 0.401$和$y\approx 0.179$.

因此，通过这种蛮力方法，我们能够找到$P$具有相同的结构$J$，这导致更好的 2 范数条件数。

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您还可以查看数学 SE 的讨论，其中传达了这一点

最优对角缩放没有简单的关系，它可以最小化矩阵的光谱条件数，除了几个特殊情况

由于这对于对角缩放（Jacobi）是正确的，因此对于块对角线也应该是正确的。该答案还谈到了导致凸优化问题的最佳缩放的公式$\implies$不确定对于一般块对角线缩放是否有类似的工作（块大小$\neq$1）。