计算科学 - 确定薛定谔方程的数值无穷大-ψ''( x ) +X2ψ ( x ) = Eψ ( x )−ψ″(x)+x2ψ(x)=Eψ(x) - 吾爱随笔录

确定薛定谔方程的数值无穷大-ψ''( x ) +X2ψ ( x ) = Eψ ( x )−ψ″(x)+x2ψ(x)=Eψ(x)

计算科学数值分析颂边界条件特征值龙格库塔

2021-12-05 01:41:56

的谐振子的以下薛定谔方程： $x$

- ψ^{″} (x) + x^{2} ψ (x) = E ψ (x) .

$−ψ''(x) + x^ 2 ψ(x) = Eψ(x).$

我使用射击方法和隐式龙格-库塔积分求解最后一个方程。对于特征值 $E=1$ ，对应的特征函数如下所示：

我将 $x=4$ 设置为 $+∞$ 并将 $x=-4$ 设置为 $-∞$ 。从图中，我们看到特征函数在 $x=\pm 4$ 处呈指数衰减。

但是，当特征值 $E=17$ 时，对应的特征函数过于复杂，以至于它不会在 $x=\pm 4$ 处呈指数衰减，如下图所示。

事实上，特征函数在 $x=\pm 6$ 处衰减，如下图所示。

我的问题

对于大特征值，数值无穷大应该很大（如），对于小特征值应该小（如）。如果独立于特征值，我将数值无穷大统一设置为一个很大的数，会浪费计算资源。那么，是否有任何公式可以根据不同的输入特征值确定确切的数值无穷大？ $x=6$ $E$ $x=4$

2个回答

你看问题的方式不对。首先，让我们考虑确切的问题及其解决方案：边界值 . 现在你想考虑在某处截断你的域，即你想考虑一个不同的问题，读取边界值其中是域的有限终止点。

- ψ^{″} (x) + x^{2} ψ (x) = E ψ (x),

$-\psi''(x) + x^2 \psi(x) = E\psi(x),$

ψ (\pm \infty) = 0

$\psi(\pm\infty)=0$

- {\tilde{ψ}}^{″} (x) + x^{2} \tilde{ψ} (x) = E \tilde{ψ} (x),

$-\tilde\psi''(x) + x^2 \tilde\psi(x) = E\tilde\psi(x),$

\tilde{ψ} (\pm x_{\infty}) = 0

$\tilde\psi(\pm x_\infty)=0$

x_{\infty}

$x_\infty$

显然，这两个问题会有不同的答案，和。您要问的问题本质上是您必须选择多大的。的差异有多小，就无法回答这个问题！ $\psi$ $\tilde\psi$ $x_\infty$ $\psi-\tilde\psi$

如果选择 small，那么当然可以解决问题，但是会很大。另一方面，如果您希望差异较小，您可能必须选择较大。一般来说，如果你需要，那么会有一些值使得任何将是域大小的有效选择。 $x_\infty$ $\psi-\tilde\psi$ $x_\infty$ $\|\psi-\tilde\psi\|\le\varepsilon$ $\bar x(\varepsilon)$ $x_\infty\ge \bar x(\varepsilon)$

您也许应该查看这些解决方案的分析形式（这里是维基百科页面），这可能会帮助您推导出能级和您的状态的典型长度之间的关系（我会查看中给出的函数上面的链接）。 $n$ $H_n$

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