静电的基本方程是 而不是 从一个简单的原理可以得出，功电当电荷从 A 点移动到 B 点时，场不依赖于 A 和 B 之间的路径，否则，我们将有一个永动机。根据定义，潜力是这项工作的数量。因此，为了获得潜力，当您将该电荷从移动 到感兴趣点时，您必须在任何方便您的路径上对测试电荷产生的力电场进行积分。

$$\mathbf{E}=-\nabla\varphi$$ $$\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-\mathbf{E}+C$$ $\infty$

因此，假设您有一个由函数描述的路径，例如 在这种情况下 $\mathbf{x}\left(t\right)$

$$\left\|\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d} t}\right\|=1$$ $$\varphi\left(\mathbf{x}_0\right)=-\int^{\mathbf{x}_0}_\infty\mathbf{E}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d} t}\, \mathrm{d}t$$

如果已知，我们想要找到，然后就像你在第一个方程中写的那样，而是我们有所有、、的二阶偏导数。两边取散得到如下表达式： 你之前写的方程假设和都是可分离的，这对于一般域是不正确的（请参阅我的回答here$\mathbf{E}$$-\nabla\phi = \mathbf{E}$$x$$y$$z$

$$-\Delta \phi = -\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right) = \nabla \cdot \mathbf{E}.\tag{1}$$ $\phi$$\mathbf{E}$看看为什么域的形状与可分离性有关）。

现在方程（1）是泊松方程，对于感兴趣的有界域，我们可以制定一个诺伊曼边值问题： 当假设一定的相容性条件时，这个方程（2）是适定的，那么您可以使用适合您需要的任何数值方法（有限元，有限差分，有限体积，傅里叶，层势等）。$\Omega$

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta \phi &= \nabla \cdot \mathbf{E} \quad \text{in }\Omega, \\ \nabla \phi\cdot \mathbf{n}&= -\mathbf{E} \cdot \mathbf{n}\quad \text{on }\partial \Omega. \end{aligned}\tag{2}\right.$$