微分运算符将始终导致总和为零的行。此外，如果您想保留微分算子的局部性，则具有相反符号的条目将是邻居（可能被零分隔）。

如果您通过搭配或正交方法对具有平滑核的积分算子进行离散化，则会出现平滑变化的条目。我建议您查看那里的应用程序。

一个问题怎么样$L^2$-投影到跨越的多项式空间

$$\{1,1+\epsilon x, 1+\epsilon x^2, \dots, 1+\epsilon x^n\},$$ 为了$\epsilon \ll 1$,$x\in [0,1]$. 然后矩阵有条目 $$A_{ij} = \int^1_{0} (1+\epsilon x^i)(1+\epsilon x^j) dx = 1 + \frac{\epsilon}{i+1}+\frac{\epsilon}{j+1} + \frac{\epsilon^2}{i+j+1},$$ 右手边$B$是 $$b_j = \int^1_0 (1+\epsilon x^j) f(x) dx.$$ 然后投影$f$有系数$F = (f_1,\dots,f_n)$可以通过 $$A F = B.$$

亥姆霍兹方程的矩解法将具有作为频率函数的平滑变化的系数（我们通常想要计算频谱，所以这很常见）。此外，平面波扩展是密集的，并且也应该相对于频率连续变化。我编写了一个名为S4的包，它几乎总是用于计算光谱，它需要许多线性求解和平滑变化密集矩阵的特征值问题。