Crank-Nicholson 通常用于线性 ODE，但也可以扩展到非线性 ODE

$$\dot z = f(z)$$

像这样：

$$\frac{z_{n + 1} - z_n}{\delta t} = \frac{f(z_{n + 1}) + f(z_n)}{2}.$$

另一个类似的替代方案是隐式中点规则：

$$\frac{z_{n + 1} - z_n}{\delta t} = f\left(\frac{z_{n + 1} + z_n}{2}\right).$$

Crank-Nicholson 和隐式中点规则对于线性 ODE 是相同的，但对于非线性 ODE，它们是不同的。我提到隐式中点规则的原因是它是一个辛积分方案，而 Crank-Nicholson 方法不是。如果您以前没有遇到过这个概念，我强烈建议您阅读Hairer、Lubich 和 Wanner* 的几何数值积分。

您可以采取的一种直截了当的方法是近似为分段常数并使用Pade 近似值$M$

$$e^{iz} \approx \frac{1 + \frac{1}{2}iz}{1 - \frac{1}{2}iz}$$

对于。这种近似特别好，因为它将实线包裹到复单位圆中。然后，当您将其应用于矩阵时，它会将具有真实特征值的事物（例如 Hermitian 矩阵）映射到酉矩阵中。然后你得到以下方案：$e^{-i\delta tM}$

$$\begin{align} A_{n + 1} & = A_n \cdot \left(I - \frac{1}{2}i\delta t M_n\right)\left(I + \frac{1}{2}i\delta tM_n\right)^{-1}\\ M_{n + 1} & = A_{n + 1}^\dagger H(t_{n + 1})A_{n + 1} \end{align}$$

如果是一个酉矩阵，那么每个连续的迭代都将是一个酉矩阵（至少在实数算术中）。它只是一阶精确的积分方案，但重要的是它保留了系统的结构。希望这是一个很好的起点，如果需要，您可以从中得出更准确的方案。$A_0$

*正如 Lutz Lehmann 在评论中指出的那样，您的问题不是哈密顿系统本身，所以我所说的辛积分器有点不合逻辑。我更多地提到这一点只是为了一般知识。您的特定问题具有非平凡的几何结构，哈密顿系统也是如此。如果您经常发现自己在解决这类问题，那么您获得的有关哈密顿系统方法的知识将很好地转移到其他类型。