题

假设乘以对角矩阵在计算上很容易，我们可以将其写为：

$$ADA^T = (A\sqrt{D})(\sqrt{D}^TA^T) = BB^T$$ 在哪里$B=A\sqrt{D}$. 动机是因为左奇异向量$B$是一组正交特征向量$BB^T$，我们可以进一步进行： $$B = U\Sigma V^T$$ 第一列$m$列$U$（对应于$m$最高奇异值）应对应于第一个$m$的特征向量$ADA^T$. 由于您只需要领先的特征向量，这就足够了。

这是一个简短的 MATLAB 代码来实现这个想法：

m = 5; d = 3;
A = randn(m,d); % A is a random matrix - note that it can have negatives
D = diag(rand(d,1)); % just a random diagonal that is positive
[V, ~] = eigs(A*D*A', d); % what we actually like to have
[U, ~, ~] = svd(A*sqrt(D),'eco'); % the variant avoiding the product

上面代码的示例运行产生以下$U$和$V$：

$$U = \begin{bmatrix} -0.4276 & 0.0746 & -0.6573 \\ -0.3001 & 0.2736 & 0.6797 \\ -0.5469 & 0.5083 & -0.1503 \\ -0.4068 & 0.0579 & 0.2730 \\ -0.5124 & -0.8111 & 0.0941 \end{bmatrix}\quad V = \begin{bmatrix} -0.4276 & -0.0746 & 0.6573 \\ -0.3001 & -0.2736 & -0.6797 \\ -0.5469 & -0.5083 & 0.1503 \\ -0.4068 & -0.0579 & -0.2730 \\ -0.5124 & 0.8111 & -0.0941 \end{bmatrix}$$

注意符号歧义。无论如何，向量的符号对于特征分解都是任意的。如果您想获得单个前导特征向量，另一种选择是直接将最后一行替换为：

[U, ~, ~] = svds(A*sqrt(D),1);