（从我的评论转换为答案并扩展。）

基本上你需要计算第四个时刻$E[x_i x_j y_k y_l]$对所有人$i,j,k,l$，给定第二个时刻。这些第四个时刻并不是普遍确定的，但它们取决于变量的分布，即使在一维情况下也是如此（这正是峰度成为问题的原因）。（特别是，如果$x$和$y$不相关但不独立，我强烈怀疑即使是您的案例公式$E[xy']=0$是错误的，因为您似乎是使用独立性得出的。）

但是，由于您要求的是近似值，因此并非所有内容都丢失了。您可以在以下假设下计算该表达式的值$x$和$y$是高斯的；即使它们不是，如果它们的分布不是太极端，希望它可以作为真实协方差的合理近似值。

对于高斯变量，结果由Isserlis 定理给出：

$$cov(x\otimes y)_{di+k,dj+l} = E[x_ix_jy_ky_l] = E[x_ix_j]E[y_ky_l] + E[x_iy_k]E[x_jy_l] + E[x_iy_l]E[x_jy_k].$$ 如果你设置$cov(x)=V,cov(y)=W$, 那么第一个和给出矩阵$V\otimes W$你已经找到了；第二个给出秩 1 矩阵$vec(V)vec(W)'$，我没有立即看到第三个很好的表达方式。您可以轻松计算所有矩阵条目，但我没有立即看到任何线性代数技巧通过将其减少为$n\times n$矩阵，因为它发生在您的特殊情况下。