计算科学 - 二维雅可比线维护？ - 吾爱随笔录

计算科学线性代数优化计算几何线性求解器

2021-11-29 07:07:57

假设给定一个线性系统

A X = B,

$AX=B,$ 在哪里

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 是一个对称的严格对角矩阵，并且

X, B \in R^{n \times 2}

$X, B\in\mathbb{R}^{n\times 2}$ . 因此，2D Jacobi 迭代求解器适用于此，

X_{k + 1} = D^{- 1} (B - R X_{k}),

$X_{k+1}=D^{-1}(B-RX_k),$ 分裂对应的地方

A = D + R

$A=D+R$ ，和

D

$D$ 仅包含的对角线条目

A

$A$ . 是否可以证明迭代

X_{0}, X_{1}, X_{2}, \dots

$X_0, X_1, X_2, \dots$ 保持每行的行

X

$X$ , 意思是, 对于

x^{i} \in R^{2}

$x^i\in\mathbb{R}^2$ 作为

i -

$i-$ 第行

X

$X$ ，按顺序排列的行

x_{0}^{i}, x_{1}^{i}, x_{2}^{i}, \dots

$x^i_0, x^i_1, x^i_2, \dots$ ，是共线的（在一条线上）？

1个回答

让我们取两次连续迭代之间的差异，并定义 $P$ 和 $Q$ 这边走：

Δ_{k} = X_{k + 1} - X_{k} = D^{- 1} B - (D^{- 1} R + I) X_{k} = P - Q X_{k}

$\Delta_k = X_{k+1} - X_{k} = D^{-1}B - (D^{-1}R + I)X_{k} = P-QX_{k}$ 然后

Δ_{k + 1} = X_{k + 2} - X_{k + 1} = P - Q X_{k + 1}

$\Delta_{k+1} = X_{k+2} - X_{k+1} = P-QX_{k+1}$ 为了逐行共线，我们需要

Δ_{k + 1} - Δ_{k} = S Δ_{k}

$\Delta_{k+1} - \Delta_{k} = S \Delta_{k}$ 对于一些对角矩阵

S

$S$ . 这样做，我们得到

Δ_{k + 1} - Δ_{k} = Q (X_{k + 1} - X_{k}) = Q Δ_{k}

$\Delta_{k+1} - \Delta_{k} = Q(X_{k+1}-X_k) = Q\Delta_k$ 自从

Q = D^{- 1} R + I

$Q = D^{-1}R + I$ 不是对角线除非

R

$R$ 是对角线的，那么通常这些迭代不会共线。

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