我正在尝试验证Schwartz-Christoffel 映射确实占据了上半平面$\mathbb{H} = \{ z: \mathrm{Re}(z) > 0\}$ 到一个多边形。

这涉及类型函数的积分和每个点的计算。

在哪里$a < b \in \mathbb{R}$.

我想要这个案子$a = 1,b=-1$. 我知道这个积分可以精确计算，但如果分母不能$P(z)$是三次方或四次方$x^4 - 1$.

这是我写的一个 numpy 脚本......如果它错了，对不起。

import numpy as np
impott matplotlib.pyplot as plt

f = lambda z: np.cumsum(z, axis=1) + 1j*np.cumsum(z, axis=0)    
n = 200
dt = 1.0/n
y = (np.ones((n,2*n)))/n
y = f(y)-1
w = y[(y.imag > 0.001)] # semicircle of radius 1

g = lambda t: np.sqrt(1 - t**2)**-0.5 # function to be integrated

plt.plot((g(w)).real, g(w).imag, 'b.')

plt.axis("Equal")
plt.show()

这是我想出的图片......绝对不是多边形。也许我必须改变原来的网格？

我不想精确计算反导数，因为我希望它适用于更复杂的例子，比如$\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(x-2)(x-3)}}$. 相反，我提出了两种策略：

• 建立一个代表值的网格$\frac{1}{\sqrt{P(z)}}$
• 将网格转换为$\int_0^z$在每个点
• 如果根$P(z)$是真实的，我们坚持$\mathrm{Re}(z)> 0$平方根至少仍然是单值的