如果以前以更一般的形式提出过这个问题，我深表歉意。我有一个三对角 Toeplitz 矩阵$K$，其特征值和特征向量对于任何维度都是解析已知的$N$[ 1 ]。具体来说，在本文第 2.2 节的符号中，我希望对角化的矩阵是这样的$a_1 = a_2$ $= -2$， 和$b_1 = b_2=c_1=c_2=1$.

要么

$$K = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0&..&0 \\ 1 & -2 & 1 & 0&..&0 \\ 0 & 1 & -2 & 1&..&0 \\ . \\ . \end{pmatrix}$$

然后定理 2.1 给出它的特征值和特征向量。

他们是：$\lambda_i = -4 \cos^2\left({\frac{(i+1)\pi}{2(N+1)}}\right)$和特征向量$v_i = (.,.,\left[U(\frac{j}{2}, \frac{(\lambda_i+2)^2-2}{2}) + U(\frac{j}{2}-1, \frac{(\lambda_i+2)^2-2}{2})\right],.,.)^T$,

在哪里$U(j,x)$是二阶切比雪夫多项式$j$.

我进一步想做的是使用特征向量矩阵，比如$A$, 来实现相似变换。（注意$A$在这个例子中一点也不稀疏）。我怎样才能在计算上做到最好？在 Python 中，对于$N = 10^4$, 程序甚至需要花费大量时间来计算$A$并存储矩阵，大概是因为存在切比雪夫多项式。另一方面，使用稀疏线性代数模块 scipy.sparse.linalg.eigs 可以更快地完成任务，即使我没有提供任何信息！

所以，我的问题是——如何结合我对真实特征值和特征向量的知识以及 SciPy 中的有效线性代数例程来实现对角矩阵 D 的相似性变换？

即使我只使用有关特征值的信息，我可以有效地计算特征向量吗？如果已知特征值，是否有例程在输入特征值后计算特征向量？

例如，以下代码是我在 Python 中的试用版：

import numpy as np
from scipy.special import eval_chebyu
from scipy import sparse as sp

N = 10**3

def Mat(x,j):
if j%2==0:
    if j==0:
        return 1
    else:
        return eval_chebyu(j/2, ((x+2)**2-2)/2) + eval_chebyu(j/2-1, ((x+2)**2-2)/2)
else:
    return (x+2)*eval_chebyu((j-1)/2, ((x+2)**2-2)/2)

def norm(A):
A=A.transpose()/np.sqrt(np.einsum('...i,...i', A,A ))
return A

def tridiag(a, b, c, N):
return sp.diags(a*np.ones(N-1), -1) + sp.diags(b*np.ones(N), 0) +sp.diags(c*np.ones(N-1), 1)

K = tridiag(1,-2,1,N)
A = np.zeros([N,N])
lam = np.zeros(N)

for i in range(0,N):
    lam[i] = -4*(np.cos((i+1)*np.pi/(2*(N+1))))**2
    for j in range(0,N):
        A[i,j]= Mat(lam[i],j)

A = norm(A)

Tq_new = sp.diags(1/(2*omega*np.sqrt(-lam)),0)

Tq_old = A.transpose().dot(Tq_new.todense()).dot(A)