计算科学 - 将稀疏酉矩阵分解为较小酉矩阵的 Kronecker 积的算法 - 吾爱随笔录

计算科学线性代数矩阵张量分解

2021-12-15 10:36:39

给定一些稀疏的酉方阵 $A$ ( $dim=2^n$ 如果重要），是否有分解算法 $A$ 成更小的酉矩阵的克罗内克/张量积？换句话说：分解酉 $A$ 进入

A = U_{1} \otimes U_{2} \otimes . . . \otimes U_{k}

$A=U_1 \otimes U_2 \otimes ... \otimes U_k$ 其中每个

U_{i}

$U_i$ 分别是单一的并且

\otimes

$\otimes$ 表示克罗内克积。

我知道，一般来说，克罗内克积的逆不是唯一的，甚至可能不存在，但如果确实存在，我只关心单个张量分解，而不是详尽的列表。例如，各个阶段是什么对我来说并不重要。

编辑：我假设矩阵是 Kronecker 产品，但如果不是，有没有办法检查？

编辑2：我在这里找到了一个资源，描述了如何做逆克罗内克产品以及如何首先检查它是否是克罗内克产品的一般大纲。看起来问题可以在多项式时间内解决。但是，如果我需要酉矩阵，是否有类似的方案？

1个回答

经过一番思考，我意识到单一的条件本质上与问题无关。这是因为克罗内克积的混合乘积和逆恒等式。所以给定一个单一的 $A$ ，我们有：

A^{- 1} = A^{†} ⟹ U_{1}^{- 1} \otimes . . . \otimes U_{k}^{- 1} = U_{1}^{†} \otimes . . . \otimes U_{k}^{†}

$A^{-1}=A^{\dagger} \implies U_1^{-1}\otimes...\otimes U_k^{-1}=U_1^{\dagger}\otimes...\otimes U_k^{\dagger}$

A A^{†} = A A^{- 1} = I = U_{1} U_{1}^{†} \otimes . . . \otimes U_{k} U_{k}^{†}

$AA^{\dagger}=AA^{-1}=I=U_1 U_1^{\dagger} \otimes ... \otimes U_k U_k^{\dagger}$ 在哪里

I

$I$ 是单位矩阵。

最后一行意味着每个人 $U_j U_j^{\dagger}=aI$ 对于一些复杂的 $a$ . 做 $U_j$ 单一的只是一个常数缩放的问题。

这意味着酉矩阵的逆克罗内克积自动酉直到一个恒定的比例因子。因此，要执行此逆积，只需遵循 karahane 在此处的数学堆栈交换中概述的解决方案。一个可能的后续问题是，是否可以得到一个最接近 Kronecker 乘积的逐片酉。为了自成一体，该解决方案的学术参考如下：

Golub G，Van Loan C. 矩阵计算，约翰霍普金斯大学出版社。1996

Van Loan C., Pitsianis N., Kronecker Products 的近似，康奈尔大学，纽约州伊萨卡，1992

根顿MG。时空协方差矩阵的可分离近似。环境计量学 2007；18：681-695。

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